Es cierto que las moléculas tetraédricas no tienen un centro de inversión, ya que dicha operación no aparece en la tabla de caracteres para una molécula tetraédrica. Si miramos la tabla de caracteres para una molécula Td, encontramos que en ella aparecen la identidad (E), C3, C2, S4 y sigma d (planos de espejo diédrico). No hay ‘i’ o ‘S2’ en la tabla, ya que ninguna de estas operaciones dejará la molécula tetraédrica sin cambios.
La inversión es la operación de simetría que cambia (x, y, z) a los equivalentes negativos (-x, -y, -z), a través del origen, (0,0,0). Algunas moléculas tienen un centro de inversión, particularmente el benceno, que pertenece al grupo de simetría puntual, D6h. El agua, que pertenece al grupo de puntos, C2v, no tiene un centro de inversión, ya que cambiar las coordenadas de los átomos en la molécula a sus equivalentes negativos no restaura las ubicaciones de los átomos, y crea una estructura que es distinguible de la Molécula original.
Tomemos un ejemplo de una molécula de Td, metano, a continuación:
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De inmediato, podemos ver que se parece mucho a un tetraedro, con el mismo punto de simetría. Si definimos un punto que es equidistante de tres de los átomos de hidrógeno, localizamos los ejes de rotación C3, que se muestran a continuación: Los otros cuatro ejes C3 están a lo largo de los enlaces CH.
Las esferas verdes nos muestran dónde debemos colocar los ejes de rotación C3, y una molécula tetraédrica tiene ocho de estos. La rotación de metano 120 grados alrededor de un enlace CH lo deja sin cambios. Si tratamos de hacer una inversión en esta molécula, encontramos que todas las esferas verdes en este diagrama cambian de lugar con los enlaces CH, mientras que el átomo de carbono en (0,0,0) permanece sin cambios. Esto nos muestra que el metano no tiene centro de inversión. Sin embargo, podemos hacerlo más distinguible introduciéndole asimetría, con reemplazo de los átomos de hidrógeno (abajo).
Aquí, hemos hecho que el modelo sea más distinguible, y cuando hacemos una operación de rotación C3 en él, manteniendo el átomo blanco quieto, encontramos que los átomos azules, rojos y naranjas cambian de lugar de manera cíclica. Una vista aérea de la molécula de metano modificada nos ayudará a discutir la operación C3.
La primera operación C3 colocará el átomo rojo sobre el átomo naranja, moviendo ese átomo a donde está el átomo azul y luego colocando el átomo azul en la ubicación anterior del átomo rojo. Una segunda rotación C3 hace lo mismo, y una tercera operación C3 restaura la disposición que se muestra en el diagrama.
Una rotación inadecuada es una mezcla de una operación de rotación y una reflexión de espejo perpendicular. El metano tiene muchos planos especulares, por lo que estos planos proporcionan las ubicaciones para las operaciones de reflexión. La reflexión cambia algunas de las coordenadas de un átomo al equivalente negativo. Si tuviéramos que reflejar un átomo a través del eje x, cambiaríamos su coordenada y a su valor negativo, dejando las otras coordenadas sin cambios. Una reflexión a través del eje y cambiará la coordenada x de ese átomo solamente. Sin embargo, los seis planos de reflexión en metano no están estrictamente restringidos a los planos de coordenadas cartesianas, que se muestran a continuación:
Si queremos hacer una rotación inadecuada con metano, primero debemos rotar la molécula 2pi / n para una operación de Sn. A medida que observamos una rotación S2, necesitamos rotar la molécula de metano 180 grados (a continuación).
Esta operación de rotación crea una molécula distinguible en comparación con las posiciones originales de los átomos, por lo que por sí sola no es una operación en Td. Sin embargo, la introducción de un plano espejo perpendicular a la rotación también cambiará la orientación de los átomos. ¡Comparar la molécula original con la molécula reflejada muestra que las coordenadas de todos los átomos han cambiado a sus valores negativos!
El etano es un ejemplo de una molécula que tiene una operación Sn, en su forma escalonada. ¡Girarlo a lo largo del enlace CC 180 grados o un múltiplo de 2pi / 6 configura la molécula para que se refleje en un plano espejo que la deja sin cambios!
Para resumir con coordenadas cartesianas, una operación S2 realiza una rotación C2 y una reflexión de espejo perpendicular, ya sea primero o segundo.
Deje que la ubicación de un átomo se llame [x, y, z]. La realización de la rotación C2 cambia esta coordenada a [-x, -y, z], cuando estamos utilizando el eje z para la rotación. ¡Y el reflejo del espejo debe ocurrir perpendicular a esta rotación, y resulta ser el eje z! Esto cambia las coordenadas antiguas a [-x, -y, -z]. Las nuevas coordenadas coinciden exactamente con el resultado de una operación de inversión. Es por esto que una operación S2 es equivalente a una operación i. Las dos operaciones que componen la operación S2 se pueden realizar en cualquier orden, y todavía obtenemos el resultado de un centro de inversión.
FA Cotton tiene una excelente discusión sobre la rotación inadecuada en su libro, Aplicaciones químicas de la teoría de grupos , y utiliza el etano escalonado como uno de los ejemplos para demostrar que el orden de rotación y reflexión no importa.
