¿Cuál es la verdadera ecuación de la teoría especial de la relatividad?

Depende de a quién le preguntes. Puedo pensar en al menos 3 que podrían considerarse “la” ecuación:

[matemáticas] E ^ 2 = m ^ 2 c ^ 4 + c ^ 2 p ^ 2 [/ matemáticas]

Relación fundamental entre la energía del objeto y las propiedades (masa y momento) de ese objeto. Frecuentemente abreviado a [math] E = mc ^ 2 [/ math] para un objeto en reposo (p = 0), lo que lleva a toda clase de confusiones entre los no físicos del mundo.

Otra importante es la transformación de Lorentz:

Esto le dice cómo el espacio y el tiempo se fusionan a altas velocidades, y le permite mostrar que el tiempo es una cantidad no absoluta, muy importante. También muestra que la velocidad de la luz es invariante en el marco bajo una transformación lorentziana.

Otra ecuación bastante importante es la métrica de Minkowski:

[matemáticas] ds ^ 2 = dt ^ 2 – dx ^ 2-dy ^ 2-dz ^ 2 [/ matemáticas]

Esto es lo que lleva a los otros dos: el uso de un espacio de Minkowski que es invariante de Lorentz es la base fundamental del desarrollo de la relatividad especial.

Hay muchas otras ecuaciones que son realmente importantes en la relatividad especial (y aún más en la relatividad general). Intentar hervir un campo rico completo en la ecuación es como tratar de destilar toda la cultura de su país en una sola imagen.

Creo que sería injusto etiquetar una ecuación como “la verdadera ecuación de la relatividad especial” porque hay varios candidatos muy válidos para ese puesto. Sin embargo, al final de esta respuesta me atendré a la acción de una partícula relativista (masiva) como la “ecuación verdadera”.

Lo que todas las ecuaciones en Relatividad Especial tienen en común es una idea central detrás de esto, que es la esencia “verdadera” de la misma, y ​​es la siguiente:

El espacio y el tiempo deberían tener el mismo estado

Es una especie de idea democrática en la que te molesta lo discriminante que es la Mecánica Newtoniana con respecto al espacio y al tiempo. La forma en que esto se ve más claramente es a través de su formulación matemática, que escribiré pronto para el sistema físico más simple (una partícula libre).

Todo lo que se necesita saber sobre un sistema físico es una cantidad llamada acción, que para la partícula libre (una partícula que deambula por el espacio, que interactúa sin otras cosas)

[matemáticas] S = \ frac {m} {2} \ int dt \ left (\ frac {dx} {dt} \ right) ^ 2. [/ math]

Por más intimidante que parezca, esta ecuación dice: oye, para la partícula que estás estudiando, toma su masa (m) y su velocidad (dx / dt), cuadra la velocidad, multiplícala y divide por 2. Oh, y suma para todos los tiempos (esto es lo que significa el símbolo [math] \ int dt [/ math]).

Ahora, con una manipulación (cancela el dt multiplicando por uno de los que divide) obtienes

[matemáticas] S = \ frac {m} {2} \ int \ frac {(dx) ^ 2} {dt}, [/ matemáticas]

y aquí es donde se lastima tu espíritu democrático, porque el espacio contribuye en el numerador con su cuadrado ([math] (dx) ^ 2 [/ math]) y el tiempo en el denominador con un dt. En una teoría que no discrimina el espacio y el tiempo, esperaría tener algo como [matemáticas] (dx) ^ 2 / (dt) ^ 2 [/ matemáticas], o [matemáticas] dx / dt [/ matemáticas], pero la física newtoniana no es así.

Ahora eche un vistazo a la versión relativista de la acción de una partícula libre:

[matemáticas] S = -mc \ int \ sqrt {(c dt) ^ 2 – (dx) ^ 2}. [/ matemáticas]

Ahora, esta acción trata el espacio y el tiempo por igual: ¡ambos están dentro de una raíz cuadrada, y ambos contribuyen con su cuadrado! Aparte de esta desagradable constante c que debe estar allí para que las dimensiones coincidan (al igual que no se pueden agregar manzanas con peras no se pueden agregar longitudes con los tiempos), todo en esta acción parece perfectamente democrático. Pero esta constante aquí está lejos de ser un nuissance, significa que para que el espacio y el tiempo sean tratados por igual debe existir una velocidad universal c, independiente de su movimiento relativo a la partícula. No se puede alcanzar su ideal democrático sin esta segunda condición.

Y ahora que ha escrito la acción, todo lo demás sigue.

” En mi opinión, la teoría de la relatividad especial aún no estaba completa, a pesar de las maravillosas ideas físicas de Einstein y las profundas contribuciones de Lorentz y Poincare” hasta que Minkowski proporcionó el punto de vista fundamental y revolucionario, el espacio-tiempo “ Roger Penrose

Habiendo publicado previamente la cita de Roger en respuesta a otros interrogatorios, se presenta una vez más, no como una ecuación hecha de caracteres simbólicos, sino como una sola palabra que captura la esencia conceptual de la Teoría. Es una especie de ironía que Einstein rechazara originalmente el trabajo de Minkowski, ya que informó haber dicho: ” Ahora que los matemáticos se han apoderado de la Relatividad Especial, no estoy seguro de que todavía lo entienda”.

Einstein luego elogió la unificación de Minkowski.

No hay uno SR incorpora cerradura, stock y barril electrodinámicos maxwellianos, así como una versión modificada de la mecánica newtoniana. Así que es una teoría bastante grande en su totalidad, con muchas facetas y muchas ecuaciones. Pero el bit que es más llamativo y distintivo, y que Einstein utilizó como axioma para derivar sistemáticamente todos los otros bits novedosos, apenas califica una ecuación: la velocidad de la luz es la misma en cada cuadro de medición.

Digo que no hay una “ecuación verdadera de la relatividad especial”. La esencia de SR es el principio que Einstein postuló en su artículo de 1905: ” Las mismas leyes de electrodinámica y óptica serán válidas para todos los marcos de referencia para los cuales las ecuaciones de la mecánica son válidas “. A partir de este principio, se pueden deducir varios efectos, como la dilatación del tiempo, la contracción de la longitud y el aumento de masa. Esto es lo que hizo Einstein, y lo llamo el enfoque “de arriba hacia abajo”, pero la mayoría de la gente no sabe que hay otro enfoque “de abajo hacia arriba” en el que estos efectos son consecuencias naturales y comprensibles.

En cualquier caso, no creo que la esencia de SR sea una sola ecuación, creo que es el principio citado anteriormente.

La relatividad especial es una distorsión espacio-tiempo para que todos vean la “velocidad de la luz”, es decir, un tipo de factor de conversión espacio-tiempo, como idéntico. Específicamente, algo que hace que las ecuaciones de maxwell funcionen en cada marco inercial.

No hay una ecuación única.

Iré un poco en la mejilla aquí y diré [matemáticas] (g _ {\ mu \ nu}) = \ operatorname {diag} (1, -1, -1, -1) [/ matemáticas] (en + – firma). A partir de esto, puedes derivar todo. En física y matemáticas, lo simple es hermoso (por supuesto, todas las demás cosas, especialmente la profundidad de contenido, la igualdad), así que mi voto es para esto.