¿Cómo se puede entender intuitivamente que el campo electromagnético viaja con una velocidad finita al observar las ecuaciones de Maxwell?

¡Este es un gran ejemplo del poder de ambas unidades y análisis cualitativos! Tengo una respuesta un poco aproximada para usted, pero parece que uno debería poder refinarla.

Como dijo Daniel Merthe, mediante la “inspección” de las ecuaciones se puede extraer la velocidad de la luz. También ve que [math] \ epsilon_0 [/ math] y [math] \ mu_0 [/ math] no tienen un significado independiente al reescalar los campos para usar unidades cgs. Te queda un parámetro, que tiene las unidades de una velocidad, y ese es el único parámetro que puede entrar en las soluciones. Si observa con más cuidado, verá que cada factor de [matemática] c [/ matemática] está asociado con una [matemática] t [/ matemática], por lo que cualquier solución que cambie en el tiempo debe venir con una velocidad de luz asociada . Esta es una restricción muy estricta sobre cómo deben ser las soluciones.

Otro hecho que puede usar es que las ecuaciones son ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas. Esto es un poco más sofisticado que el análisis dimensional, pero le permite concluir que las soluciones a alta frecuencia siempre oscilarán (de hecho, serán como ondas). Como no hay escala de frecuencia en las ecuaciones (nada con unidades de tiempo inverso solamente), si las soluciones son onduladas a alta frecuencia, deben ser onduladas en todas las frecuencias.

En esta etapa, sabemos que las ecuaciones de Maxwell tienen soluciones en forma de onda y que la dinámica de esas soluciones se rige por una velocidad universal.

Si desea ir más allá, puede pensar en las simetrías de las ecuaciones para reducir aún más las propiedades que pueden tener las soluciones. El ejemplo más famoso es que las ecuaciones son invariables bajo las transformaciones de Lorentz, pero las soluciones también son invariables con respecto a las reflexiones ([math] t \ rightarrow -t, x \ rightarrow -x [/ math], y así sucesivamente). Si las soluciones en sí mismas no respetan estas simetrías, al menos puede encontrar nuevas soluciones aplicando estas transformaciones. La invariancia de Lorentz, en particular, sugiere (tal vez implica) que las soluciones deben construirse a partir de cantidades covariantes de Lorentz. Por ejemplo, una solución podría ser una función de [math] x-ct [/ math]. Luego, a partir de las simetrías, puedo obtener una nueva solución por reflexión o una rotación en el espacio (o por una transformación de Lorentz).

A menudo pienso que deberíamos enseñar esto mejor en los cursos de pregrado, pero a menudo los estudiantes todavía están aprendiendo cómo resolver las ecuaciones por la fuerza bruta. Y, seamos honestos, la solución de fuerza bruta es más fácil de entender que la intuitiva.

Estás en lo correcto. Las dos constantes [math] \ epsilon_0 [/ math] y [math] \ mu_0 [/ math] se pueden combinar en la constante,

[matemáticas] c = \ frac {1} {\ sqrt {\ epsilon_0 \ mu_0}} [/ matemáticas]

que tiene unidades de velocidad. Este es solo un parámetro en las ecuaciones de Maxwell con unidades de velocidad. Por lo tanto, si la solución a la ecuación de Maxwell tiene alguna velocidad, debe ser [math] c [/ math].

A2A: Dos de las ecuaciones de Maxwell contienen la información de que la velocidad de onda es [matemática] 1 / \ sqrt {\ epsilon_0 \ mu_0} [/ matemática], pero solo cuando se toma en combinación. La expresión aparece como velocidad en la ecuación de onda. Solo se reconoce como velocidad cuando está en una ecuación de onda. Las ecuaciones de onda se reconocen como tales porque todas las ecuaciones de onda se ajustan a una forma particular.

Maxwell reconoció que la expresión estaba muy cerca del valor medido de [math] c [/ math], y por lo tanto sabía que la luz es muy probablemente ondas electromagnéticas.

Entonces, por lo que leí, entiendes que puedes probar que los campos E y B viajan con c porque puedes combinarlos en la ecuación de onda d’Alembert y leer la velocidad, y tu pregunta es si puedes calcular esta velocidad a partir de las ecuaciones originales, es decir. antes de combinarlos.

Honestamente no lo se. Yo diría que la combinación de dos ecuaciones no crea nueva información, pero eso no significa que cada ecuación individual tenga la misma información, ni que toda la información se pueda obtener de las dos ecuaciones separadas. En otras palabras, aunque supongo que alguien podría darse cuenta de que las ecuaciones para E (o B) producen una onda, creo que los detalles se obtienen mejor de la ecuación de onda de d’Alembert.

Todo esto se convierte en una semántica un poco de todos modos. En relatividad, lo que llamamos ‘campo eléctrico’ y lo que llamamos ‘campo magnético’ depende en gran medida del observador, en esencia solo hay un campo (el campo electromagnético) y los detalles dependen del movimiento relativo.

Aquellos que entiendan las ecuaciones de onda verán que el parámetro c es una velocidad y que no habría onda si fuera infinito.