La respuesta que he propuesto a la pregunta que realmente hace el OP se puede encontrar aquí, como un comentario a: La respuesta de Richard Simon a ¿Qué es la teoría de límites y cuál es la base para ella?
Es un comentario extendido que debes buscar. Estoy haciendo referencia aquí para una mayor visibilidad.
Creo que resuelve completamente el problema, al menos como lo entiendo.
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ACTUALIZACIÓN: He agregado el bit final (?) De la discusión como un comentario directamente debajo .
ACTUALIZACIÓN: He encontrado una demostración aún más simple, así que lo pondré aquí.
La esencia del problema parece ser que el OP no podía imaginar cómo la serie armónica (1 + 1/2 + 1/3 + …) realmente genera grandes sumas, a pesar de que admitió que se ha demostrado que la serie diverge. En particular, no ve cómo se pueden agrupar los términos de la serie armónica para que quede claro que:
HS> 1 + L + L + L +…
donde L es un número muy grande como 10 ^ 25.
Pero esto no es difícil: como se muestra en el cálculo del primer año, la serie armónica se puede utilizar para evaluar la integral de 1 / x. Por lo tanto, a una excelente aproximación,
1 / n + 1 / (n + 1) + 1 / (n + 2) +… + 1 / (m-1) + 1 / m ~ ln (m) – ln (n) = ln (m / n)
Por lo tanto, dado cualquier L (digamos 10 ^ 25), la serie parcial HS de
1 + 1/2 + 1/3 +… + 1 / m ~ 1 + ln (m / 2)
Por lo tanto, si seleccionamos el valor de m como 2 * exp (L) ,
esta serie parcial> 1 + ln ((2 * exp (L) / 2)) = 1 + L
Para obtener el siguiente fragmento de tamaño L, necesitamos agregar los términos:
1 / (m + 1) + 1 / (m + 2) +… + 1 / M ~ ln (M / (m + 1) ~ ln (M / m)
Entonces, si ln (M / m) = L, M = exp (L) * m
Del mismo modo, si ln (N / M) = L, N = exp (L) * M = m * exp (2L), entonces la serie parcial:
1 / (M + 1) + 1 / (M + 2) +… + 1 / N ~ ln (expo (L)) = L
Por lo tanto, podemos insertar corchetes para imponer la agrupación:
HS> 1 + L + L + L + L +…
seleccionando los corchetes como se muestra:
1 + {1/2 + .. + 1 / [2 * exp (L)]} + {1 / [1 + 2 * exp (L)] +… + [2 * exp (2L)]}
+ {1 / [1+ 2 * exp (2L)] +… + 1 / [2 * exp (3L)]} + {1 / [1+ 2 * exp (3L)] +… + 1 / [2 * exp (4L)]}
donde [y] = entero más grande no mayor que y.
Es obvio que esto se puede hacer para cualquier valor finito de L, por grande que sea; y por el tiempo que quieras
Creo que esto pone a la cama todos los problemas que Geng ha planteado sobre los infinitos.
