Impresionante pregunta.
Pero la importancia de los triángulos rectángulos va más allá del electromagnetismo.
Cuando colocas un triángulo rectángulo en el plano cartesiano como este;
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El lado inferior se encuentra solo en el eje [matemático] x [/ matemático], y el lado perpendicular solo se encuentra en el eje [matemático] y [/ matemático]. Esto es muy importante. Este no sería el caso si el triángulo no fuera un triángulo rectángulo.
Eche un vistazo al punto [matemáticas] B [/ matemáticas] en esa imagen. Sus coordenadas cartesianas son [matemáticas] (b, a) [/ matemáticas]. Pero con la ayuda de esta construcción de triángulo rectángulo, podemos representar este punto con otro sistema de coordenadas, coordenadas polares.
Cada punto [matemático] (x, y) [/ matemático] en las coordenadas cartesianas tiene su correspondiente [matemático] (r, \ theta) [/ matemático]. [matemática] r [/ matemática] aquí es el hipoteno de este triángulo rectángulo, y [matemática] \ theta [/ matemática] es el ángulo en el origen.
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Ahora, hablemos de números complejos. Cada número complejo tiene componentes [matemáticos] 2 [/ matemáticos], parte real e imaginaria. Al igual que los puntos en el plano cartesiano.
Los números complejos también se pueden representar en forma polar. Cada número complejo [matemáticas] z = x + iy [/ matemáticas], tiene una forma polar correspondiente [matemáticas] re ^ {i \ theta} = r \ cos (\ theta) + ir \ sin (\ theta) [/ matemáticas ]
¿Qué hay de las funciones? Todo, desde las finanzas hasta la mecánica, desde la transferencia de calor hasta el electromagnetismo, está representado con funciones. Una propiedad muy extraña de estas funciones es que pueden obtenerse como una suma de funciones sinusodiales.
¿Cómo? Estas funciones pueden considerarse como objetos de dimensiones infinitas. En el espacio cartesiano dimensional [matemático] 2 [/ matemático], el eje [matemático] x [/ matemático] es ortogonal (perpendicular) al eje [matemático] y [/ matemático]. En el espacio de funciones dimensionales infinitas, cada función [matemática] e ^ {i \ omega \ theta} [/ matemática] con diferentes valores [matemática] \ omega [/ matemática] son otogonales entre sí.
Entonces, [math] e ^ {i \ omega \ theta} [/ math] con diferentes valores [math] \ omega [/ math] ([math] \ omega [/ math] es la frecuencia angular) puede pensarse como perpendicular ejes en el espacio de funciones dimensionales infinitas, y cada función se puede representar con sus valores en esos ejes.
Cada función se puede escribir como sumas de sinusodiales (o exponenciales complejos, [matemática] e ^ {i \ omega \ theta} = \ cos (\ omega \ theta) + i \ sin (\ omega \ theta) [/ math]) .
Esto le permite analizar ecuaciones diferenciales mucho mejor, sabemos su solución para sinusodiales, pero no sabemos su solución para ninguna función arbitraria [matemáticas] f (x) [/ matemáticas]. Al descomponer esta [matemática] f (x) [/ matemática] en sus partes sinusodiales, también podemos encontrar sus soluciones.
Entonces aquí es donde entran los triángulos rectángulos en el electromagnetismo 🙂
De hecho, esta descomposición en sinusodiales también es útil en muchos otros temas que no tienen nada que ver con el electromagnetismo o las ecuaciones diferenciales. Como la compresión JPEG.
