Lo mismo que cualquier investigación matemática: encuentre algunas afirmaciones interesantes que sean ciertas pero que nadie más haya demostrado ser cierto, y demuestre que son ciertas. Luego, haga que su prueba sea comprensible para otros y publíquela.
La lógica matemática se divide en varias subáreas, teoría de conjuntos, teoría de modelos, teoría de pruebas y teoría de recursión. Todos estos son bastante diferentes, y más detalles dependen de qué rama estás hablando. Lo que tienen en común es que son muy, muy abstractos.
Para darle una idea de lo que estoy hablando, durante el primer curso de posgrado que tomé en lógica (que contiene tanto la teoría de conjuntos como la teoría de modelos), el maestro dijo: “Pero esto claramente no es un infinito particularmente grande”. En el contexto de la teoría de conjuntos, esa afirmación tiene sentido completo
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