La respuesta de Viktor Toth es muy correcta, como siempre, pero siento que le falta una parte. Como deshabilita los comentarios sobre sus respuestas, lo agregaré aquí.
La idea fundamental de la mecánica cuántica es, como él dijo, [matemáticas] \ hat {q} \ hat {p} – \ hat {p} \ hat {q} = i \ hbar [/ math]. Esto es válido independientemente de lo que signifique [math] \ hat {q} [/ math]. Puede ser una posición espacial 3D normal, o puede ser un ángulo, un radio o cualquier cosa. Siempre que pueda encontrar el impulso asociado [matemática] \ hat {p} [/ matemática], como describe Victor, usted toma esa afirmación como verdadera y tiene mecánica cuántica.
Esta relación fundamental implica inmediatamente el principio de incertidumbre de Heisenberg: para cualquiera de los dos observables, [math] \ hat {A} [/ math] y [math] \ hat {B} [/ math], la incertidumbre entre ellos está limitada por [math ] \ Delta A \ Delta B \ ge \ frac {1} {2} | \ langle (\ hat {A} \ hat {B} – \ hat {B} \ hat {A}) \ rangle [/ math], donde esos corchetes angulares significan que estamos tomando un valor esperado. Cuando [math] \ hat {A} = \ hat {q} [/ math] y [math] \ hat {p} [/ math], esto se convierte en [math] \ Delta q \ Delta p \ ge \ frac { 1} {\ hbar} [/ math].
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Ahora, como también señaló Víctor, puede alternar entre el llamado momento canónico y la derivada temporal de la posición resolviendo la ecuación [matemática] p = \ frac {\ parcial L} {\ parcial \ punto { q}} [/ math] para [math] \ dot {q} [/ math]. En el caso de partículas puntuales, obtienes [math] \ dot {q} = \ frac {p} {m} [/ math], pero en general [math] \ dot {q} [/ math] será alguna función de El impulso y la posición.
Podemos usar esto para definir un operador de velocidad. Por ejemplo, [math] \ hat {\ dot {q}} = \ frac {\ hat {p}} {m} [/ math]. Entonces podemos usar el Principio general de incertidumbre de Heisenberg anterior para encontrar la incertidumbre entre velocidad y posición.
Pero como la velocidad puede depender no trivialmente del impulso y la posición, podríamos obtener un principio de incertidumbre muy diferente. Por ejemplo, si tiene una partícula que se mueve en la superficie de la esfera con radio [matemática] R [/ matemática], puede usar el ángulo azimutal [matemática] \ phi [/ matemática] y el ángulo polar [matemática] \ theta [ /matemáticas]. Encontramos que [math] p_ \ phi = mR ^ 2 \ dot {\ phi} \ sin ^ 2 \ theta [/ math]. Por lo tanto, [matemáticas] \ Delta p_ \ phi \ Delta \ phi \ ge \ hbar / 2 [/ matemáticas], pero [matemáticas] \ Delta \ dot {\ phi} \ Delta \ phi \ ge \ frac {\ hbar} { 2mR ^ 2} \ left \ langle \ frac {1} {\ sin ^ 2 \ theta} \ right \ rangle [/ math]. En lugar de que la incertidumbre sea una constante, ¡depende de la distribución angular del estado en el que está midiendo!
¡Feliz cuantización!
