En teoría, ¿podría haber un planeta tal que para cada punto de su superficie, la gravedad no sea perfectamente ortogonal?

(En el espíritu de que esto sea más un problema matemático que un problema físico …) Si no se requiere que la superficie del planeta sea lisa / diferenciable, entonces sí, es posible. Considere, por ejemplo, un planeta que es casi una bola perfecta de densidad uniforme, pero que tiene un patrón arbitrariamente pequeño de “onda triangular” cortado en su superficie. El campo gravitacional estaría arbitrariamente cerca del de la bola sin cortar y, por lo tanto, se dirigiría casi exactamente radialmente hacia adentro, en un ángulo de 45 grados con la superficie en todas partes, se puede definir la orientación de la superficie.

Para ser concreto: defina una función [matemática] f (x) [/ matemática] que tome la forma de una onda triangular, es decir, una secuencia continua de segmentos de igual longitud que se alternan entre pendientes de +1 y -1. Entonces podemos definir nuestra superficie en coordenadas esféricas,

[matemáticas] r (\ theta, \ phi) = r_0 + A f (r_0 \ theta) [/ matemáticas]

donde [math] r_0 [/ math] es el radio de la bola original, [math] A [/ math] es un parámetro arbitrariamente pequeño y [math] \ theta [/ math] es el ángulo polar (colatitude).

Si, por otro lado, exigimos una superficie lisa / diferenciable, este problema se vuelve más difícil (al menos para mí). Lo he pensado un poco y mi intuición dice que no se puede hacer, pero todavía no he encontrado ningún tipo de base rigurosa para tal afirmación. Si se me ocurre algo, actualizaré mi respuesta en consecuencia.

En lugar de dejar las cosas allí, dado que dijiste que esta pregunta estaba inspirada en el Teorema de la Pelota Peluda, pensé en mencionar una versión modificada de la pregunta a la que se puede aplicar el teorema de manera bastante directa.

En lugar de tener una forma de planeta arbitraria con densidad uniforme , considere un planeta de forma uniforme (esférica) con densidad arbitraria (de variación suave, positiva).

En este caso, podemos escribir el campo gravitacional en la superficie del planeta como [math] \ vec g (\ theta, \ phi) [/ math], y definir otro campo vectorial,

[matemáticas] \ vec p (\ theta, \ phi) = \ vec g (\ theta, \ phi) – \ left [\ vec g (\ theta, \ phi) \ cdot \ hat r \ right] \ hat r [ /matemáticas],

es decir, el componente tangencial del campo gravitacional.

Este campo vectorial [math] \ vec p [/ math] satisface todas las condiciones del Teorema de Hairy Ball y, por lo tanto, debe desaparecer en algún lugar. Si [math] \ vec p [/ math] es cero en un punto dado, entonces [math] \ vec g [/ math] también es cero allí, o bien [math] \ vec g [/ math] es puramente radial . Sin embargo, cada trozo de masa dentro del planeta contribuye con un componente radial negativo al campo gravitacional, por lo que el campo neto también debe tener un componente radial negativo.

Por lo tanto, donde [math] \ vec p [/ math] se desvanece, [math] \ vec g [/ math] apunta “hacia abajo”, perpendicular a la superficie.

Respuesta corta: No. (Discutiré una excepción a continuación, pero realmente no cuenta).
En principio, un planeta podría tener una forma muy extraña como, por ejemplo, una rosquilla o una taza de café, de modo que el centro de masa se encuentre fuera de su superficie. Sin embargo, siempre habrá puntos donde la gravedad apunta directamente a la superficie del planeta. Imagine que está en un punto de la superficie donde la gravedad apunta ligeramente hacia los lados (digamos a la izquierda desde su punto de vista).

Si toda la gravedad apuntara ligeramente hacia la izquierda para TODOS los puntos en la superficie, entonces un objeto comenzaría a deslizarse en esa dirección debido al tirón de la gravedad y continuaría deslizándose más y más rápido (siempre que no haya fricción: un planeta de hielo con una superficie lisa) . Esto también significa que el objeto continuaría ganando energía a medida que acelera para siempre; sin embargo, esto es imposible debido a la conservación de la energía.

Como consecuencia, para no producir cantidades infinitas de energía, la gravedad tiene que apuntar un poco hacia la derecha en otros lugares. Los componentes laterales generales deben cancelarse entre sí.

Si la gravedad tiene un componente hacia la izquierda en una región y un componente hacia la derecha en la región opuesta, entonces Y si la forma del objeto es algo suave (matemática: la superficie es continua y diferenciable), entonces la dirección de la gravedad debe ser ortogonal en el límite donde el componente hacia la izquierda se convierte en un componente hacia la derecha.

EXCEPCIÓN: La única forma en que esto no sucedería es si la gravedad no cambiara suavemente a medida que se mueve a lo largo de la superficie (no física) o si la superficie misma no cambia suavemente en el límite entre la gravedad izquierda y derecha. Este sería, por ejemplo, el caso de un planeta con espigas (en dos dimensiones imagina una forma de “estrella de David”). La gravedad apunta hacia el centro de la estrella en todas partes de la superficie. En las pendientes de las espigas, la gravedad tiene un componente lateral. Sin embargo, en los puntos de conexión entre estos bordes rectos (o superficies en 3D) no existe una dirección ortogonal porque la orientación de la superficie es indeterminada en estos puntos, por lo que la gravedad no podría ser ortogonal en estos puntos. Si el mundo fuera puramente matemático, esta sería una excepción en la que la gravedad no sería ortogonal a la superficie en ningún punto. Sin embargo, las formas físicas nunca tienen esquinas perfectas como esta porque la materia finalmente se compone de átomos (en cuyo caso la palabra superficie se vuelve confusa en sí misma).

Espero que esto aclare las cosas y responda a su pregunta. Si tengo algo mal en mi explicación, ¡hágamelo saber!

Salud,
Johannes

Creo que un planeta con forma de hoja de papel con un agujero en ángulo en el medio y bordes biselados debería ser suficiente.

El centro de masa estará en el centro, donde está el agujero, por lo que en cualquier lugar a lo largo de la superficie del papel, el vector gravitacional estará en ángulo hacia el centro. Si los bordes del papel, incluidos los que rodean el agujero, entonces el vector tampoco será ortogonal aquí.

¡Por favor, alguien que sea bueno en matemáticas me dice si esto está mal! Sin embargo, tiene (un poco) sentido lógico para mí.

Sí, y ese planeta es la Tierra …

La Potsdam Gravity Potato (2005-2011) ilustró que la gravedad no es tanto una deformación del espacio-tiempo como se atribuye a las características de la superficie del planeta y a las densidades superficiales altas y bajas inusuales, lo que también sugiere que la estructura del espacio tiene una influencia. https://apod.nasa.gov/apod/ap141 …

Claro, si estás de excursión en una montaña o en cualquier pendiente, la gravedad tira hacia el centro de la Tierra, que no será perpendicular a la superficie en la que estás. A medida que la inclinación se vuelve más y más empinada, la fuerza normal que ejerce el suelo se vuelve cada vez menos, lo que significa menos fricción, por lo que en una montaña realmente empinada, no habrá suficiente fricción para contrarrestar la gravedad y se resbalará.

En realidad, en el borde de un acantilado, la gravedad es básicamente paralela a la superficie.

¿Ortogonal a qué? No está claro lo que estás preguntando. Los agrimensores en el norte de la India tuvieron que dar cuenta del hecho de que el rango masivo del Himalaya causó que sus plomadas se desviaran de la vertical local (ver LA ATRACCIÓN DEL HIMALAYA).

Ver también: experimento de Schiehallion

La tierra es un ejemplo. Cualquier superficie inclinada, por definición, no es ortogonal a la dirección de la gravedad.

Es por eso que las cosas ruedan y fluyen cuesta abajo.

No solo en teoría, sino de hecho. Párate en la ladera de una colina. La gravedad no es perpendicular a la superficie en ese punto.

En realidad, debido a los masscons y al hecho de que la Tierra no es una esfera perfecta, estás parado sobre una.