La relación entre velocidad, longitud de onda y frecuencia no es la ecuación de onda sino lo que se conoce como la relación de dispersión y se obtiene de las soluciones de la ecuación de onda, así que esa es la sutil diferencia. La ecuación de onda misma describe la evolución en el tiempo y el espacio de una onda electromagnética.
Considere el potencial electromagnético de 4 [matemática] A ^ {\ mu} = (\ phi, \ vec {A}) [/ matemática] donde [matemática] \ phi [/ matemática] es el potencial escalar y [matemática] \ vec {A} [/ math] es el potencial vectorial de modo que los campos eléctrico y magnético se puedan escribir respectivamente como
[matemáticas] E ^ {i} = – \ nabla \ phi – \ frac {\ partial A ^ {i}} {\ partial t} [/ math]
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[matemáticas] B ^ {i} = (\ nabla \ times \ vec {A}) ^ {i} [/ matemáticas]
Si luego calcula las ecuaciones de Euler-Lagrange del escalar electromagnético de Lorentz ([matemática] \ matemática {L} = – \ frac {1} {4} F _ {\ mu \ nu} F ^ {\ mu \ nu} [/ math] donde [math] F ^ {\ mu \ nu} = \ partial ^ {\ mu} A ^ {\ nu} – \ partial ^ {\ nu} A ^ {\ mu} [/ math] es el tensor electromagnético ) llegamos a la ecuación de onda
[matemáticas] (\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial t ^ {2}} – \ nabla ^ {2}) A ^ {\ mu} = 0 [/ matemáticas]
en unidades naturales donde c = 1. Debido a las relaciones entre el potencial 4 y el campo electromagnético, esta ecuación de onda se puede escribir como
[matemáticas] (\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial t ^ {2}} – \ nabla ^ {2}) \ vec {E} = 0 [/ math]
[matemáticas] (\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial t ^ {2}} – \ nabla ^ {2}) \ vec {B} = 0 [/ math]
cuál es la forma que será más familiar para la mayoría de las personas. Así es como se obtiene la ecuación de onda electromagnética de la teoría de campo y se puede derivar de manera más simple, pero creo que esta es la más satisfactoria. Esto se debe a que también le muestra cómo funciona la ecuación porque los campos eléctricos y magnéticos son en realidad el único campo en el que puede describir la propagación de ondas electromagnéticas utilizando solo una teoría de campo en lugar de dos. Entonces, la ecuación funciona, ya que es una solución natural a las ecuaciones de Euler-Lagrange, por lo que los fotones que son ondas electromagnéticas siempre tendrán su comportamiento descrito en esta ecuación de onda.
Los supuestos que he usado es que no hay fuentes externas y que las ondas se propagan en el vacío. Sin estos supuestos, todavía se obtiene la ecuación de onda, pero solo con términos adicionales o un factor diferente para la velocidad, respectivamente.
Espero que esto ayude.
