Si duplica el tamaño y la masa de la Tierra, ¿la velocidad de escape seguirá siendo la misma? ¿Por qué?

En primer lugar, debe especificar cómo ha duplicado el tamaño de la tierra. Hay 2 formas posibles,

1. Doblando el diámetro
2. Duplicando el volumen

Como sabemos, la velocidad de escape es la velocidad mínima que necesita un objeto en el momento del lanzamiento para escapar de una influencia gravitacional de la tierra. Es posible cuando tiene una energía cinética igual o mayor que la energía potencial gravitacional mientras se lanza desde la superficie de la tierra en ausencia de otras fuerzas resistivas como la fricción.

Entonces 1 / 2mv ^ 2 = GmM / r

M = masa de la tierra, r = radio de la tierra, v = velocidad de un objeto cuando se lanza (velocidad de escape), m = masa de un objeto y G = constante gravitacional

Entonces v (velocidad de escape) = (2GM / r) ^ 1/2

1. Entonces, si consideramos el primer caso donde la masa y el volumen de la tierra se duplican, multiplicaremos M por 2 y el radio de la tierra se convertirá en (3 / 2pie) ^ 1/3 del radio real de una tierra. (Volumen de una esfera = 4 / 3pie (r) ^ 3)

Entonces v [2GM * 2 / {r * (3 / 2pie) ^ 1/3}] ^ 1/2

Entonces, como pueden ver, aumentará. Si no puede observarlo, verifíquelo con la calculadora.

2. Y para el segundo caso de que dupliques tanto el diámetro como la masa, entonces 2 se cancelará tanto del numerador como del denometor según la fórmula y, en última instancia, su velocidad de escape seguirá siendo la misma.

¡Espero que esto ayude!

Depende de lo que quieras decir al duplicar el tamaño.

La velocidad de escape ocurre cuando su energía cinética, [matemáticas] \ frac {1} {2} mv ^ 2 [/ matemáticas], es igual en magnitud a su energía potencial gravitacional, [matemáticas] \ frac {GMm} {r} [/ matemáticas].

Establecer estos valores iguales y resolver para [matemática] v [/ matemática] le brinda velocidad de escape:

[matemáticas] v_e = \ sqrt {\ dfrac {2GM} {r}} [/ matemáticas]

El hecho clave que hay que sacar de eso es que la velocidad de escape es proporcional a la raíz cuadrada de la masa e inversamente proporcional a la raíz cuadrada del radio.

Entonces, si al duplicar el tamaño de la Tierra te refieres a duplicar el radio, entonces tu velocidad de escape aumentará en un factor de:

[matemáticas] \ dfrac {2 ^ {1/2}} {2 ^ {1/2}} = 1 [/ matemáticas]. Por lo tanto, duplicar tanto la masa como el radio no causa ningún cambio para escapar de la velocidad.

Si, al duplicar, quiere decir duplicar el volumen de la Tierra (lo que sucedería si aumentara el radio en la raíz cúbica de dos), entonces la velocidad de escape cambiaría por un factor de:

[matemáticas] \ dfrac {2 ^ {1/2}} {({2 ^ {1/3}}) ^ {1/2}} = 2 ^ {1/3} \ aprox 1.26 [/ matemáticas]

Por lo tanto, duplicar el volumen y la masa aumenta la velocidad de escape a unos 14 km / s.

Si. Por tamaño, supongo que te refieres al radio (no al volumen).

[matemáticas] v_e = sqrt (2GM / r) [/ matemáticas]

Entonces, el cambio en los términos para M (masa) yr (radio) se cancelarán mutuamente. El punto de partida (superficie de la Tierra) está dos veces más lejos del centro gravitacional, lo que compensa la masa extra.

Creo que hay una pequeña desconexión en la pregunta. Si duplica el tamaño, lo que significa que el diámetro de la masa aumentará ocho veces, a menos que reduzca la densidad en un octavo, en ese caso, tendrá una tierra muy diferente.
La velocidad de escape es una función de la masa, así como la masa aumenta, también lo hace la velocidad de escape.

La velocidad de escape es: v = sqrt (2GM / r). Entonces, si duplica la masa y duplica el radio, entonces la velocidad de escape seguirá siendo la misma.