¿Cómo calculó Aristarco el tamaño de la luna?

Aristarco utilizó cantidades medibles en su momento junto con un razonamiento sólido y genial para realizar uno de los cálculos más inteligentes de la antigüedad: el tamaño de la luna. (Clasifico esto justo al lado del cálculo del diámetro de la tierra por Eratóstenes).

En su momento, se sabía que los eclipses lunares fueron causados ​​por la sombra de la tierra que cae sobre la luna cuando el sol y la luna están en los lados opuestos de la tierra. También se sabía que el movimiento de la luna no era coplanar con el sol ya que los eclipses lunares no ocurren en cada luna llena. A partir de esto, descubrió que los eclipses lunares más largos ocurren cuando el sol, la tierra y la luna se vuelven colineales. (No es necesario que sean colineales para que ocurra un eclipse porque la sombra (umbra) de la tierra en la luna es más grande que la luna).

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A partir de este razonamiento, el diámetro angular de la sombra de la tierra en la luna se puede medir como la distancia angular que recorre la luna en el cielo en el momento del eclipse lunar de máxima duración. Deje que este ángulo sea [matemática] 2A [/ matemática]. (Ver figura.)

B = radio angular del sol.

De la figura,
[matemáticas] A + C + B = \ pi [/ matemáticas]
[matemáticas] E + C + D = \ pi [/ matemáticas]
[matemáticas] A = E + DB [/ matemáticas]

Además, dado que los ángulos A, B y D son pequeños, podemos aproximarlos como,
[matemáticas] A = \ frac {R_ {em}} {D_ {em}} [/ matemáticas]
[matemáticas] B = \ frac {R_ {s}} {D_ {es}} [/ matemáticas]
[matemáticas] D = \ frac {R_ {e}} {D_ {em}} [/ matemáticas]
[matemáticas] E = \ frac {R_ {e}} {D_ {es}} [/ matemáticas]
dónde
[matemáticas] R_ {em} [/ matemáticas] = Radio de la sombra de la tierra en la luna
[matemáticas] R_ {s} [/ matemáticas] = Radio del sol
[matemáticas] R_ {e} [/ matemáticas] = Radio de la tierra
[matemática] D_ {em} [/ matemática] = Distancia entre la Tierra y la Luna
[matemática] D_ {es} [/ matemática] = distancia Tierra-Sol

[matemáticas] \ frac {R_ {em}} {D_ {em}} = \ frac {R_ {e}} {D_ {es}} + \ frac {R_ {e}} {D_ {em}} – \ frac {R_ {s}} {D_ {es}} [/ math]

Ahora, resulta que el sol y la luna tienen el mismo tamaño angular (¡feliz coincidencia!)
[matemáticas] B = \ frac {R_ {s}} {D_ {es}} = \ frac {R_ {m}} {D_ {em}} [/ matemáticas]

Podemos reemplazar B en la ecuación con el radio angular de la luna.
[matemáticas] \ frac {R_ {em}} {D_ {em}} = \ frac {R_ {e}} {D_ {es}} + \ frac {R_ {e}} {D_ {em}} – \ frac {R_ {m}} {D_ {em}} [/ matemáticas]

Multiplique esto por [math] D_em [/ math]
[matemáticas] R_ {em} = \ frac {R_ {e} D_ {em}} {D_ {es}} + R_ {e} – R_ {m} [/ matemáticas]

Aquí viene la inteligencia. Como el sol está mucho más lejos que la luna, podemos descuidar el término que contiene \ frac {D_ {em}} {D_ {es}}.

[matemáticas] R_ {em} = R_ {e} – R_ {m} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ frac {R_ {em}} {R_ {m}} +1 = \ frac {R_ {e}} {R_m} [/ matemáticas]

Ahora, mira la imagen de abajo. Deje que [math] \ alpha_m [/ math] y [math] \ alpha_ {em} [/ math] sean los radios angulares de la luna y la sombra de la tierra en la luna como se ve desde la tierra.

[matemáticas] \ alpha_m = \ frac {R_m} {D_ {em}} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ alpha_ {em} = \ frac {R_ {em}} {D_ {em}} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ frac {\ alpha_ {em}} {\ alpha_m} = \ frac {R_ {em}} {R_m} [/ matemáticas]
Dado que el radio angular de la luna es conocido y el radio angular de la sombra de la Tierra puede medirse como se mencionó anteriormente, [math] \ frac {R_ {em}} {R_m} [/ math] puede calcularse. Ahora que tenemos el valor de [math] \ frac {R_ {e}} {R_m} [/ math], [math] {R_m} [/ math] se puede calcular dado [math] {R_e} [/ math] .

Ref: Astronomía 101 Especiales: Aristarco y el tamaño de la luna