Sorprendentemente probable! Obtuve alrededor de 3 colisiones por segundo, en promedio. Aquí están mis suposiciones y modelo de probabilidad:
Longitud de la bala = [matemáticas] L_B [/ matemáticas] = 4.5 cm para un rifle M16.
Ancho de la viñeta = [matemática] W_B [/ matemática] = 5.5 mm (no importa en el modelo porque [matemática] W_B << L_B [/ matemática]).
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Velocidad de bala = [matemática] v_B [/ matemática] = 948 m / s.
Número de ejércitos = 2, denotados A y B.
Número de guerreros por ejército = N = 1000
Longitud de la línea de guerreros = 1 km (no importa en este modelo)
Velocidad de disparo = 1 por segundo por guerrero. Período entre disparos = ΔT = 1 seg.
Modelo: Suponga que todos los guerreros tienen exactamente la misma altura (!), Por lo que todas las balas vuelan en el avión entre las líneas A y B; Suponga un intervalo de tiempo de ΔT, durante el cual se dispara una bala desde un punto aleatorio a lo largo de la línea A hasta un punto aleatorio en la línea B. En el mismo intervalo, se dispara una bala desde un punto aleatorio a lo largo de la línea B a un punto aleatorio en la línea A. Las viñetas colisionan si el momento de la segunda viñeta hace que llegue al punto de intersección (si existe) mientras que una parte de la primera viñeta está allí. El tiempo que tarda una bala en cruzar el punto de intersección es,
[matemáticas] Δt = L_B / v_B [/ matemáticas] = 5 μseg
La probabilidad de que las dos trayectorias aleatorias se crucen es 1/2 (¡izquierda como ejercicio para el lector!)
La probabilidad de que las dos balas choquen, por lo tanto, es
[matemáticas] P_C = 2 (\ frac {1} {2}) \ frac {L_B / v_B} {ΔT} = 2.5 X 10 ^ {- 6} [/ matemáticas]
El factor 2 viene porque cualquiera de las dos balas podría ser la segunda en llegar.
Usando la aproximación (válida) que,
Pr [La bala golpea a cualquiera de las N balas enemigas] = [matemáticas] 1 – (1 – P_C) ^ N = N P_C = 2.5 X 10 ^ {- 3} [/ matemáticas]
La tasa esperada de colisiones de balas es, entonces,
[matemática] E [N_C] = 2 (\ frac {1} {2}) \ frac {L_B / v_B} {ΔT} {N} = 2.8 [/ matemática] colisiones por segundo por 1000 combatientes.
Limitaciones: estamos asumiendo que todas las balas atraviesan la línea opuesta. Si relajamos el plano de interacción y decimos que las balas pueden volar de manera uniforme en un espacio de solo 1 metro de altura (bastante preciso), reducimos la velocidad en un factor de 188 (= 1 metro / [matemática] W_B [/ matemática]), o aumentar el tiempo entre colisiones a 67 segundos.
