Para abordar esta pregunta constantemente, debemos ir al ámbito de la relatividad general. Bueno, incluso en GR, no hay una forma totalmente coherente de abordar este problema: una tierra plana infinita es una situación muy poco física. Tome esta respuesta con un grano de sal, por lo tanto.
Ok, vamos a relativista general completo sobre este bastardo. Para comenzar, supongamos que la tierra es una lámina delgada infinitamente grande. Algo así como esta foto.
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¿Cuál es la métrica para el espacio-tiempo con una lámina de masa infinita? Para responder esto, reduzcamos una muesca y recordemos la ley de gravedad de Newton.
A partir de la ley de gravedad de Newton, el campo gravitacional de una hoja infinita se puede calcular utilizando la Ley de Gauss. Esto da un campo que es constante en todas partes. El potencial gravitacional es entonces
[matemáticas] \ phi = az [/ matemáticas]
Donde a es una constante.
Ahora invoquemos la idea favorita de Eibstein: el principio de equivalencia. Este principio nos dice que un observador no puede distinguir de los experimentos locales si está en un campo gravitacional constante o si está acelerando constantemente en el espacio-tiempo libre de gravitación. Entonces, al menos localmente, la métrica de un observador en un campo gravitacional constante es la misma que la de un observador acelerado en el espacio-tiempo plano (libre de gravedad). Esta métrica es conocida (y fácil de entender si no se conoce) y se denomina métrica de Rindler.
[matemáticas] ds ^ 2 = -azdt ^ 2 + dx ^ 2 + dy ^ 2 + dz ^ 2 [/ matemáticas]
El potencial gravitacional newtoniano puede derivarse de la relatividad general en su límite newtoniano: está dado por el componente [matemático] g ^ {tt} [/ matemático] de la métrica. Para Rindler space_De hecho, puede ver directamente desde la métrica que el potencial newtoniano es
[matemáticas] \ phi = g ^ {tt} = – az [/ matemáticas]
Esto es lo que obtuvimos anteriormente directamente, por lo que es consistente.
Ahora la métrica de Rindler está relacionada por la transformación coordinada a la métrica más débil posible: la métrica plana de Minkowski
[matemáticas] ds ^ 2 = -dT ^ 2 + dX ^ 2 + dY ^ 2 + dZ ^ 2 [/ matemáticas]
Ahora estamos listos para calcular la trayectoria de un rayo de luz en el espacio de Rindler. Primero veamos qué hay en el espacio Minkowski. Según GR, la trayectoria de un rayo de luz está descrita por una geodésica nula. Nulo significa [matemática] ds ^ 2 = 0 [/ matemática] en la trayectoria y geodésica significa el camino más corto. Es fácil ver que en un espacio-tiempo plano estas serían solo líneas rectas.
Por ejemplo, la trayectoria de un rayo que viaja paralelo a la hoja a lo largo dice que el eje y que comienza en un punto (A, B, C) en T = 0 estaría dado por la línea recta
[matemáticas] T = Y + B, X = A, Z = C [/ matemáticas]
Transformemos esta trayectoria en coordenadas de Rindler usando la transformación de coordenadas entre las dos coordenadas.
[matemáticas] t = [/ matemáticas] ([matemáticas] 1 / a) tanh ^ {- 1} (T / Z) [/ matemáticas]
Y
[matemáticas] z = \ sqrt {Z ^ 2-T ^ 2}, y = Y, z = X [/ matemáticas]
Casi terminamos. Solo queda calcular cuándo esta trayectoria toca la tierra, es decir, z [matemáticas] = 0. [/ math] Esto se puede hacer fácilmente y la respuesta resulta ser [math] t = \ infty! [/ math]
Por lo tanto, según un observador fijo en algún lugar cerca de la tierra plana, un rayo de luz tarda un tiempo infinito que comienza paralelamente a la tierra para tocar el suelo.
