Supongamos que la torre está situada en el ecuador de la Tierra y que tiene una densidad uniforme.
La fuerza de la gravedad es:
[matemáticas] F_g = – \ frac {Gm_e m} {x ^ 2} [/ matemáticas] (Ley de gravedad de Newton)
- ¿Qué tan grande sería una bola de fósforo con la misma masa que la Tierra comprimida por su propia gravedad?
- Si la Tierra gira lo suficientemente rápido, ¿podría haber una gravedad más baja o nula?
- ¿Cómo cambia la gravedad con la distancia entre objetos en 4 dimensiones?
- ¿Es posible hacer un análisis de un marco de varios pisos para la carga por gravedad solo para el cálculo manual?
- ¿Por qué dos cuerpos diferentes que caen a la Tierra tienen la misma velocidad pero pueden tener una masa diferente?
La fuerza centrífuga es:
[matemáticas] F_c = \ frac {V ^ 2} {x} m [/ matemáticas]
que se puede escribir como:
[matemática] F_c = \ omega ^ 2 xm [/ matemática] (donde [matemática] \ omega [/ matemática] es la velocidad angular de la tierra)
Ahora considere una pieza infinitesimal de la torre [math] dx [/ math]. Deje [math] \ delta [/ math] ser la densidad lineal de la torre. La masa de la pieza es [matemáticas] \ delta [/ matemáticas] [matemáticas] \; dx [/ matemáticas]
Y entonces:
[matemáticas] dF_g = – \ frac {Gm_e \ delta \; dx} {x ^ 2} [/ matemáticas]
[matemáticas] dF_c = \ omega ^ 2 x \ delta \; dx [/ matemáticas]
Deje que [math] r [/ math] sea la posición sobre el centro de la Tierra de la base de la torre (el radio de la Tierra). Deje que [math] h [/ math] sea la cima de la torre.
El peso total de la torre debido a la gravedad es:
[matemáticas] F_g = \ int_r ^ h- \ frac {Gm_e \ delta \; dx} {x ^ 2} [/ matemáticas]
[matemáticas] F_g = Gm_e \ delta (\ frac {1} {h} – \ frac {1} {r}) [/ matemáticas]
y la fuerza centrífuga hacia arriba es:
[matemáticas] F_c = \ int_r ^ h \ omega ^ 2 x \ delta \; dx [/ matemáticas]
[matemáticas] F_c = \ frac {1} {2} \ delta \ omega ^ 2 (h ^ 2-r ^ 2) [/ matemáticas]
El peso total de la torre es:
[matemáticas] F = Gm_e \ delta (\ frac {1} {h} – \ frac {1} {r}) + \ frac {1} {2} \ delta \ omega ^ 2 (h ^ 2-r ^ 2 )[/matemáticas]
Ajústelo a cero y supongo que resolverá [math] h [/ math]. Desafortunadamente, esto parece una especie de cosa cúbica asquerosa. Así que vamos a ser gráficos.
Al conectar algunos números reales, podemos graficar [matemática] F [/ matemática] en función de [matemática] h [/ matemática].
[matemáticas] G = 6.67408 \ veces10 ^ {11} \; m ^ 3 / kg / s ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] m_e = 5.972 \ veces 10 ^ {24} \; kg [/ matemáticas]
[matemáticas] r = 6.371 \ veces10 ^ 6 \; m [/ matemáticas]
[matemáticas] \ omega = 7 \ veces 10 ^ {- 5} \; rad / s [/ matemáticas]
[math] \ delta = 1 kg / m [/ math] ([math] \ delta [/ math] no afecta el resultado, por lo que cualquier número distinto de cero funcionará)
Aquí, la línea verde representa el peso debido a la gravedad, y la línea naranja representa la fuerza centrífuga. La suma es la línea roja, que tiene tres ceros.
La solución que está buscando está a unos 156 mil kilómetros .
También hay una solución trivial en [matemáticas] h = r [/ matemáticas], y una solución negativa.
EDITADO: Otra respuesta afirma que el centro de la torre debe estar en órbita geosíncrona. Esto parece razonable, pero no es la respuesta que obtuve aquí. Siempre asumo primero que cometí el error, pero maldita sea si puedo encontrarlo. ¡Qué problema tan interesante!
