¿Por qué relacionamos SHM con un círculo cuando en realidad la partícula se mueve hacia arriba y hacia abajo en una línea?

Para demostrar que un objeto exhibe un movimiento armónico simple a partir de los primeros principios, ya sea un peso en el extremo de un resorte, un flotador en un fluido, o lo que sea, el objeto del ejercicio es demostrar que, para pequeños desplazamientos, la aceleración es directamente proporcional al desplazamiento, pero en la dirección opuesta.
Con el desplazamiento proyectado sobre el eje y, la ecuación para el desplazamiento y es:

[matemáticas] y = pecado (x) [/ matemáticas]

La velocidad es la derivada de esto:

[matemáticas] \ frac {dy} {dx} = cos (x) [/ matemáticas]

Finalmente, la aceleración es la derivada de la velocidad o

[matemáticas] \ frac {d ^ 2y} {dx ^ 2} = -sin (x) [/ matemáticas]

La aceleración es la negativa del desplazamiento y, por lo tanto, el movimiento armónico simple.

Podemos pensar en SHM como la proyección del movimiento circular uniforme de una partícula en alguna línea como el eje X. Es la proyección la que te da el término seno / coseno. La fase es esencialmente el ángulo que forma la partícula en el círculo.

Consígase una linterna y una rueda. Pegue una bola de masilla en el costado de la rueda cerca del borde. Dale una vuelta y la masilla subirá y bajará a medida que gira. Brille la linterna desde el borde lejano a la rueda (perpendicular al eje), de modo que la sombra de la masilla caiga en la pared. La sombra solo subirá y bajará. Su movimiento hacia arriba y hacia abajo coincidirá exactamente con el movimiento en línea recta de un oscilador SHM.

Si tienes un resorte, configúralo justo al lado de la sombra. Si puede encontrar la masa correcta, puede sincronizarlos exactamente durante todo el ciclo.

O mira esto:

Así es como SHM coincide con el movimiento circular:

No estamos relacionando el SHM con el movimiento circular, solo con la sombra del movimiento circular, borde por así decirlo. Es decir, el movimiento de la masilla a lo largo de una dimensión a medida que avanza en un círculo.

(Ahora puedes relacionar las fuerzas. La fuerza en el oscilador es = -kx

La fuerza sobre la masilla que se mueve en un círculo es = -4piR * m / T ^ 2

Pero lo que queremos es solo en una dimensión … entonces = -4pi x * m / T ^ 2

Por supuesto, la x solo coincidirá con R en los bordes. )

También podría decir en un círculo la fuerza = -m * v ^ 2 / R o = -m * v ^ 2 / x

¿Adivina dónde la velocidad de la sombra coincide con la velocidad de la masilla?