La Tierra es demasiado grande y su masa es demasiado pequeña para que la luz pueda orbitarla. Para eso, necesitas una masa que sea tan compacta que exista una órbita circular con una velocidad orbital que sea igual a la velocidad de la luz.
Incluso sin la teoría de la relatividad, puedes adivinar cuáles deben ser los valores para que suceda. La fórmula (no relativista) para la velocidad de una órbita circular viene dada por [math] v = \ sqrt {GM / r} [/ math] donde [math] G \ simeq 6.674 \ times 10 ^ {- 11} ~ {/ rm m} ^ 3 / {\ rm s} / {\ rm kg} ^ 2 [/ math] es la constante de gravedad de Newton, [math] M [/ math] es la masa (para la Tierra, [math] M \ simeq 6 \ times 10 ^ {24} ~ {\ rm kg} [/ math] y [math] R [/ math] es la distancia desde el centro de la masa (supongamos que es esférica, por simplicidad; en el caso de la Tierra, en la superficie de la Tierra [matemáticas] R \ simeq 6.37 \ veces 10 ^ 6 ~ {\ rm m} [/ matemáticas]. Usando estos números, obtienes [matemáticas] v \ simeq 7.9 ~ {\ rm km} / {\ rm s} [/ math] como la velocidad orbital para las órbitas terrestres bajas, lo cual es justo, pero también es mucho, mucho menor que la velocidad de la luz, y cuanto más alto va (más grande [math ] R [/ math] es) cuanto menor es la velocidad orbital.
Entonces, ¿cuál debería ser el valor de [matemáticas] R [/ matemáticas] para [matemáticas] v = c [/ matemáticas], la velocidad de la luz? La matemática es fácil: [matemática] c = \ sqrt {GM / R} [/ matemática] da [matemática] R = GM / c ^ 2 [/ matemática] o aproximadamente medio centímetro. Es decir, si comprimiera la Tierra al tamaño de un grano de pimienta, podría tener una luz en órbita. Por supuesto, la Tierra es mucho más grande que un grano de pimienta, e incluso si tuviéramos los medios para hacerlo tan pequeño, simplemente se derrumbaría en un agujero negro.
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Por el contrario, ¿qué tan masivo necesitaría la Tierra para tener su tamaño actual para que los fotones permanezcan en órbita terrestre baja? Nuevamente, la matemática es fácil: [matemática] M = c ^ 2R / G [/ matemática], que produce una masa que es aproximadamente 4,300 veces la masa del Sol. ¡Eso sí que sería un poderoso agujero negro! (Aunque hay agujeros negros que son mucho más grandes que eso, por ejemplo, se supone que el agujero negro está en el centro de nuestra propia Vía Láctea es de aproximadamente 4 millones de masas solares).
Bien, usé una fórmula no relativista para la velocidad orbital en estos cálculos simples. Sin embargo, resulta que la versión relativista no es muy diferente. Por ejemplo, el radio de la llamada esfera de fotones viene dado por [math] R = 3GM / c ^ 2 [/ math], o tres veces el valor que calculé anteriormente. Entonces, en lugar de menos de medio centímetro, llegaría a aproximadamente un centímetro y medio para la Tierra. El tamaño de una uva pequeña, entonces.
