¿La teoría de grupo finito ya no es un área activa de investigación?

Esto depende de lo que consideres investigación en teoría de grupos finitos. Si bien cierto tipo de investigación se ha secado, hay muchas cosas nuevas y emocionantes en el área. Además de la respuesta de Alon Amit, aquí hay una pequeña lista de investigadores activos en teoría de grupos finitos:

Cheryl Praeger, MW Liebeck, Chris Parker, Peter Cameron, Aner Shalev, Peter Abramenko, Michael Giudici, László Pyber, Nikolay Nikolov, Alexander Ivanov, Pham Huu Tiep, Tim Burness, Derek Holt, Eamonn O’Brien, Sergey Shpectorov, Bhama Srinivasan , Alice Devillers, Harald Andrés Helfgott, Donna Testerman.

Puede consultar su trabajo en teoría de grupos y ver qué le interesa. Algunos de los temas activos son grupos de permutación, teoría de grupos computacionales, crecimiento en grupos, grupos finitos de tipo Lie y teoría de grupos probabilísticos.

Todavía hay algunos problemas bastante grandes sin resolver en la teoría de grupos finitos, pero creo que la mayor parte de la investigación moderna en el campo está sucediendo donde la teoría de grupos se superpone con campos más convencionales como la geometría algebraica (mirar grupos algebraicos), la teoría de la homotopía (la no-belia La correspondencia de Dold-Kan dice aproximadamente que los grupos are son puntiagudos, tipos de homotopía conectados) y la teoría de Lie. Tengo un sesgo hacia estos campos, y es probable que haya otras áreas en las que se estudian ampliamente los grupos, de las cuales no estoy al tanto.

Hasta donde sé, la teoría de grupos es similar al álgebra lineal en que la teoría clásica es bastante bien entendida, pero todavía se está trabajando en generalizaciones de estos campos y en una búsqueda constante de mejores algoritmos en el lado computacional de las cosas. .

Mi impresión (como teórico de grupo, pero no como teórico de grupo finito) es que la teoría de grupo finito, particularmente cualquier cosa que tenga que ver con grupos simples finitos y su clasificación, estuvo muy de moda durante gran parte del siglo XX, mientras que hoy en día todavía está activa, pero un área madura más típica, lo que significa que el ‘canon’ establecido es muy grande en comparación con los nuevos resultados. Todavía hay muchas cosas nuevas que se pueden hacer, pero debes leer mucho los antecedentes antes de asegurarte de que se te ocurra algo nuevo e interesante que ver con grupos finitos, y la edad promedio de personas activas prominentes los teóricos de grupos finitos son bastante altos.

Como dice Alon Amit, realmente no necesita preocuparse por un área específica de investigación en esta etapa. Sin embargo, lo que diría es que si está interesado en la teoría de grupos, no debe tomar las complejidades de la teoría de grupos finitos (no asintóticos) como representativas de la teoría de grupos en su conjunto. Hay muchos sabores de la teoría de grupos infinitos, pero creo que la mayoría de los teóricos de grupos hoy en día estudian grupos infinitos desde una o más perspectivas que no se traducen tan bien en el entorno finito (excepto asintóticamente), como el siguiente: análisis, dinámico sistemas, geometría a gran escala, teoría de modelos, álgebras de operadores, teoría de la computación, topología. Estos enfoques de la teoría de grupos a menudo son ‘más jóvenes’ en el sentido de que las preguntas cualitativas más básicas no tienen respuesta pero son potencialmente respondibles, y las herramientas se basan más en otras áreas de las matemáticas que en la acumulación de conocimiento especializado de teoría de grupos. Otros aspectos son comunes a los grupos finitos e infinitos (p. Ej., Teoría de la representación, geometría algebraica, álgebra homológica, acciones en estructuras combinatorias), pero pueden asumir un carácter bastante diferente en entornos infinitos.