A2A – ¡Gracias Travis!
Pregunta de OP “Si todas las lunas y planetas de nuestro sistema solar estuvieran alineados, ¿cuál sería la diferencia entre la fuerza de gravedad a ambos lados de la Tierra?”
Normalmente leo algunas otras respuestas antes de comenzar en caso de que esté duplicando el esfuerzo, pero pensé que intentaría algo diferente en esta respuesta. He decidido tratar la cuestión como un ejercicio de aproximación de Fermi. Si no sabes qué es eso (o incluso si lo sabes) te recomiendo este excelente video de Lawrence Krauss:
- ¿Por qué los países invierten en explorar otros planetas?
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Como lo estoy tratando como un ejercicio, no quiero perjudicar mi mente con otras respuestas. Estoy interesado en descubrir retrospectivamente cómo la aproximación de Fermi se compara con las respuestas rigurosas que otras personas podrían publicar.
También he decidido desafiarme confiando completamente en mi memoria, no voy a buscar nada para esta respuesta. Cuál es otra razón para evitar leer cualquier otro.
Voy a comenzar haciendo dos predicciones, incluso sin la aproximación de Fermi.
Primero, predigo que los únicos dos objetos de los que debemos preocuparnos para responder esta pregunta son el Sol y la Luna. ¿Por qué? Debido a que la Tierra ha existido durante 4–5 Giga Años y en algún momento en esos Millones de rotaciones alrededor del Sol, la mejor alineación para cualquier otro objeto habría sucedido y el otro objeto nos habría capturado. El hecho de que orbitemos alrededor del Sol es muy insinuante de que el Sol ejerce una fuerza mayor que cualquier otra cosa (la Luna está excluida porque la gravedad es recíproca, la Luna ejerce exactamente la misma fuerza de gravedad que la Luna ejerce sobre la Tierra). la Luna junto a la Tierra, por lo que el hecho de que la Luna esté en órbita alrededor de la Tierra y no al revés no nos dice mucho sobre la diferencia relativa entre las fuerzas gravitacionales del Sol y la Luna en la Tierra).
Mi segunda predicción es que la diferencia de fuerza en cada lado de la Tierra será muy pequeña incluso con la alineación establecida para la mayor diferencia posible.
Si la primera predicción es cierta, podemos decir que la diferencia será mayor cuando el Sol y la Luna estén en el mismo lado de la Tierra. Por lo tanto, solo tenemos que esperar un mes a la vez para obtener la mejor alineación; no vale la pena preocuparse por esperar el resto de los objetos.
Dado que están en el mismo lado de la Tierra una vez al mes (no directamente alineados, pero lo suficientemente cerca) y sabemos que no nos sentimos sustancialmente más ligeros por la noche y más pesados en el día cada vez que hay una Luna nueva con la que podemos decir confianza en que la diferencia de fuerza de un lado de la Tierra al otro es sustancialmente menor que la gravedad de la Tierra (si la Luna y el Sol están por encima de su cabeza al mediodía, entonces lo empujan hacia arriba y lo hacen más ligero, por la noche son el otro lado de la Tierra debajo de tus pies, tirando hacia abajo y haciéndote más pesado. En realidad, esa no es la forma correcta de mirarlo. La Tierra está cayendo junto con nosotros en órbita alrededor del Sol, por lo que realmente la diferencia de fuerza gravitacional newtoniana sí no se traduce directamente en una diferencia de peso. Podemos ver la diferencia real en la aceleración en las mareas, y a pesar de lo que parece desde nuestro punto de vista humano insignificante, las mareas se crean por una diferencia en la gravedad mucho más pequeña que la gravedad de la Tierra) .
Bien, esa es la predicción. Ahora hagamos una aproximación de Fermi. Y para esto agregaré otros dos objetos solo para asegurarme de que tenía razón al decir que el Sol y la Luna son los dos únicos de los que tenemos que preocuparnos.
Los dos objetos que voy a agregar son Júpiter y Venus.
Para todas las comparaciones que siguen, obviamente estoy usando la ley de gravitación universal de Newton. F = GMm / R ^ 2 pero si decimos que estamos interesados en la fuerza relativa de dos objetos diferentes en la misma masa de 1 kg en la Tierra, entonces lo único que nos importa es la relación de M1 / R1 ^ 2 a M2 / R2 ^ 2 donde M1 y M2 son las masas de los dos objetos, y R1 y R2 son las distancias de cada uno de ellos desde la Tierra en la aproximación más cercana.
Voy a ignorar Saturno y todos los demás objetos más allá de Júpiter porque Júpiter es más masivo que todos ellos juntos y está más cerca, por lo que su gravedad será sustancialmente mayor que todos los objetos más distantes.
Júpiter de memoria es 317 o 318 veces la masa de la Tierra, ya que esta es una aproximación de Fermi, lo llamaré 300. Saturno es algo así como 98, por lo que Júpiter es 3 veces Saturno. Neptuno y Urano juntos totalizan menos de 40 masas terrestres, y todo lo demás más lejos que Júpiter probablemente asciende a menos de 100, pero incluso si no fuera así, podemos descontarlo según la ley del cuadrado inverso. Cualquier cosa dos veces más lejos que Júpiter debe ser 4 veces más grande para tener la misma gravedad que Júpiter. Si hubiera objetos que sumen 1000 veces la masa de la Tierra más allá de Neptuno, tendrían menos efecto que Júpiter en este cálculo, incluso si estuvieran todos en el mismo lado de la Tierra. (Hasta donde sé, se cree que el cinturón de Kuiper tiene menos de una masa de la Tierra, solo estoy señalando que, incluso si hay mucha masa por ahí, no sabemos que no tiene ninguna consecuencia en cuanto a la pregunta está preocupado).
Venus es mucho menos masivo que Júpiter, pero está mucho más cerca, así que vamos a verlo también solo para estar seguros. Pero podemos ignorar todos los otros objetos más cercanos que Júpiter porque ninguno de ellos se acerca tanto como Venus y todos son más claros (Venus en la aproximación más cercana, de memoria que es un 28% de la distancia al Sol, está más cerca que cualquier cosa excepto la Luna y un NEO ocasional, dejaré NEO a una especie de apéndice al final).
Incluso si suma todos los asteroides, Marte (más Phobos y Demos) y Mercurio, obtendrá menos masa que Venus.
Por lo tanto, si verificamos tanto a Júpiter como a Venus y ambos tienen mucho menos efecto que el Sol y la Luna, podemos decir mi sugerencia original de que el Sol y la Luna son los únicos dos objetos que son correctos para una aproximación de Fermi.
Aquí están las diferencias relativas en la misa, nuevamente de memoria.
La luna es aproximadamente 1/81 de la masa de la Tierra.
Venus es aproximadamente el 90% de la masa de la Tierra.
Júpiter 317–318, como dije, llámalo 300.
El Sol mide aproximadamente 2 × 10 ^ 30 Kg y la Tierra mide aproximadamente 6 × 20 ^ 24Kg, por lo que el Sol mide 20/6 x 10 ^ 5, llámelo 3 × 10 ^ 5 veces la masa de la Tierra.
Entonces Júpiter es 300/3 × 10 ^ 5 = 1,000th la masa del Sol. Dado que Júpiter está mucho más lejos que el Sol, incluso en la aproximación más cercana, su gravedad será insignificante en todo momento en comparación con la gravedad del Sol (seamos un poco más precisos, cada órbita tiende a ser un poco menos del doble del tamaño de la uno anterior en la secuencia Muchos-Muy-Tempranos-Hombres-Ate-Jugoso-Filetes-Utilizando No-Placas, excepto que No y Placas están a la misma distancia. Aproximémonos a 1.5, lo que hace que la órbita de Marte sea 1.5 veces la Tierra, los Asteroides 1.5 ^ 2 veces la de la Tierra, y Júpiter 1.5 ^ 3 veces la de la Tierra.
1.5 ^ 3 = 27/8 llamémoslo 3.5.
En la aproximación más cercana, Júpiter estaría 2.5 veces más lejos que el Sol (3.5 – 1 = 2.5).
Aplicando la ley del cuadrado inverso, 2.5 ^ 2 es aproximadamente 6, por lo que la gravedad de Júpiter sería aproximadamente 1/6,000 de la del Sol. Lo que confirma la predicción de que podemos ignorarlo.
Venus es el 90% de la masa de la Tierra, también podemos decir que es la misma masa, por lo que es aproximadamente 1/3 × 10 ^ 5 veces la masa del Sol. En la aproximación más cercana, Venus tiene un 28% de distancia al Sol. Digamos que Venus es 1/4 de la distancia al Sol en la aproximación más cercana, lo que fortalece su gravedad en un factor de 16.
Eso hace que la gravedad de Venus sea 16/3 × 10 ^ 5 o aproximadamente 1/20,000 de la del Sol en la aproximación más cercana.
Entonces podemos ignorar a Venus también.
Por lo tanto, la primera predicción es correcta.
A continuación, veamos las fuerzas relativas de la gravedad de la Luna y el Sol en la Tierra.
Según las estimaciones anteriores, la masa del Sol es de aproximadamente 81 x 3 × 10 ^ 5 veces la masa de la Luna. Llámalo 2 × 10 ^ 7 (en otras palabras, llamo a la masa del Sol 20 millones de veces la masa de la Luna).
Ahora necesitamos la ración de distancia. Normalmente prefiero Km, pero si usamos millas obtenemos dos números con los que es más fácil jugar, así que por una vez usaré millas. La Luna está a aproximadamente un cuarto de millón de millas de distancia, de memoria cerca de un 10% más cerca al acercamiento más cercano. El Sol está a unos 93 millones de millas de distancia. Llámalo 100 millones de millas. Eso hace que la relación de distancia sea de 1 a 400. Podemos verificar eso usando el hecho de que la Luna tiene aproximadamente el mismo tamaño aparente que el Sol, lo que significa que la Relación de sus radios debe ser aproximadamente la misma que la relación de sus distancias. El radio de la Luna es, creo, algo así como 1,600-1,700 Km y el del Sol es algo así como 700,000Km, que también está lo suficientemente cerca de 1 a 400 (1,65 a 700 también puede ser de 2 a 800, que es de 1 a 400).
Entonces la gravedad del Sol es 2 × 10 ^ 7 / (400 ^ 2) veces la de la Luna.
Eso es 2 × 10 ^ 7/160000 o 20 × 10 ^ 3/16 que también podríamos llamar 1000.
Entonces, la gravedad de la Luna es 1,000 veces más débil que el Sol, pero en términos de aproximación de Fermi es un orden de magnitud mayor que Júpiter y Venus.
En todo caso, la primera predicción no fue lo suficientemente lejos, el Sol es el único objeto del que debemos preocuparnos.
Bien, finalmente, comparemos la gravedad del Sol con la gravedad de la Tierra en su superficie. Ya tenemos la relación de masa, 1 a 3 × 10 ^ 5.
Esta vez usaré la distancia del Sol en Km, que es de unos 150 millones de Km.
El radio de la Tierra en km es más difícil de recordar que su circunferencia. Antes, cuando definían el medidor, querían que fuera una 10 millonésima distancia del ecuador al Polo Norte. Entonces definieron esa distancia como 10,000Km y dado que eso es ¼ de la circunferencia, la circunferencia total fue 40,000Km. Desde entonces, la definición del medidor ha cambiado, ya que esa no era realmente una definición práctica. Primero usaron una barra estándar, y ahora está oficialmente vinculada a la velocidad de la luz. Sin embargo, las redefiniciones no lo cambiaron demasiado, por lo que 40,000 km todavía está muy cerca de la cifra correcta para la circunferencia de la Tierra.
Por lo tanto, el radio de la Tierra está cerca de 40,000 / 2Pi. Eso es 6,366 km, creo que en realidad es algo así como 6,373 km (radio medio, el radio ecuatorial es algo así como 8 o 9 km más grande, y el radio polar algo así como 8 o 9 km menos). Pero pensé que mostraría una manera fácil de obtener una aproximación, y dado que solo necesitamos una cifra aproximada, la llamaré 6,000 km.
Entonces, la relación de distancia es de 6,000 a 150,000,000. Desde 15/6 es 2.5 que funciona como 1 a 25,000.
Necesitamos cuadrar eso, que es 625 millones, llamarlo 600 millones, o 6 × 10 ^ 8.
Finalmente, podemos dividir la relación de masa por la relación de distancia 3 × 10 ^ 5/6 × 10 ^ 8, que es 1/2 × 10 ^ 3.
En otras palabras, la fuerza gravitacional del Sol sobre nosotros es aproximadamente 1 / 2.000 de la de la Tierra.
Dado que la aceleración debida a la gravedad de la Tierra es de 9.8 m / s ^ 2, que también podríamos llamar 10. Eso hace que la aceleración se deba al Sol, y por extensión a todos los demás cuerpos del sistema solar, algo así como 0.005 m / s. Dado que tira desde arriba de su cabeza durante el día y desde debajo de sus pies por la noche, la diferencia es 0.01m / s ^ 2.
O para decirlo de otra manera, si tomamos el hecho de que la Tierra se está moviendo fuera de la ecuación, y si asumimos que un humano se aproxima a 100 Kg, serían 100 gramos más ligeros en el día que en la noche.
Según mi advertencia anterior, no debes tomar en serio esta diferencia de peso. La diferencia real en la aceleración es un efecto de marea, y las mareas son gravedad diferencial, lo que significa que están relacionadas con el cubo de la distancia, no con el cuadrado. No eres * en realidad * 100 gramos más ligero al mediodía que a la medianoche.
Pero el OP pidió la diferencia en la “fuerza de gravedad”, no el efecto de marea. Y darle un peso ficticio es una manera fácil de describirlo.
Según lo prometido, una reflexión final sobre los NEO. ¿Qué pasa si un objeto rozó la superficie de la Tierra? ¿Qué tan cerca tiene que venir a nuestras cabezas?
Bueno, si seguiste la misión Rosetta, sabrás que el módulo de aterrizaje (Philae) tuvo muchos problemas para descender porque la gravedad del cometa era mucho más baja que la de la Tierra. Ese cometa podría perder tu cabeza por metros y no levantarte de la superficie de la Tierra. Por supuesto, la onda de choque lo mataría, pero mi punto es que un objeto debe ser lo suficientemente grande como para tener una gravedad significativa antes de que valga la pena considerarlo desde el punto de vista de la pregunta, no importa cuán cerca se acerque.
Hay escenarios potenciales que podrían afectar la pregunta, digamos que Ceres es expulsado de su órbita y Millones de años en el futuro se sumerge en la atmósfera de la Tierra y simplemente pierde la superficie. Todavía tendrá una fuerza de gravedad mucho menor que la Tierra, pero sería mucho más grande que la gravedad del Sol por un corto período de tiempo.
No ser sacados de la superficie es la menor de nuestras preocupaciones en lo que respecta a los NEO, y es bueno que se estén haciendo esfuerzos para rastrearlos.
