Esta es una pregunta divertida! Sin embargo, es difícil dar una respuesta.
La principal dificultad es con su descripción del globo: usted dice que el globo continúa expandiéndose (potencialmente con algunos dispositivos nano limpios, presumiblemente con infinitas materias primas). El problema aquí es que si asumimos que el espacio es un vacío perfecto y el globo puede expandirse infinitamente, entonces no se ejerce ninguna fuerza en el exterior. ¡Esto significa que continuará expandiéndose para siempre! Con la presión interna que coincide con la presión interna.
Si, en cambio, decimos que la presión del espacio no es cero, en su lugar usamos el valor de [math] 1.332 \ cdot10 ^ {- 11} [/ math] Pa. Veamos qué nos da eso …
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Comenzando simplemente, podemos recordar la ecuación de Newton para la atracción gravitacional (este problema es lo suficientemente difícil sin involucrar a la Realidad General), esto indica que la fuerza, [matemáticas] F, [/ matemáticas] debido a la gravedad entre dos objetos de masa [matemáticas] m [/ math] y [math] M [/ math], separados por la distancia [math] r [/ math] viene dado por:
[matemáticas] F = G \ frac {mM} {r ^ 2} [/ matemáticas]
Donde [math] G [/ math] es la constante gravitacional.
Si la aceleración debida a la gravedad debe ser igual a la de la Tierra en la superficie, [matemáticas] g_ {tierra} [/ matemáticas], entonces podemos usar la segunda ley de Newton para encontrar la fuerza ejercida sobre nuestro objeto y equiparar las dos:
[matemáticas] F = mg_ {tierra} [/ matemáticas]
[matemáticas] mg_ {tierra} = G \ frac {mM} {r ^ 2} [/ matemáticas]
Podemos cancelar [math] m [/ math] y reorganizar para dar:
[matemáticas] g_ {tierra} = G \ frac {M} {r ^ 2} [/ matemáticas]
Todavía no está allí: no conocemos la masa de nuestro globo de hidrógeno y su radio. Continuemos y supongamos que el Hidrógeno es un gas ideal, en cuyo caso podemos usar la Ley del Gas Ideal, esto establece que:
[matemáticas] PV = nRT [/ matemáticas]
Donde [matemática] P [/ matemática] es presión, [matemática] V [/ matemática] es volumen, [matemática] T [/ matemática] es temperatura absoluta, [matemática] n [/ matemática] es el número de moles de hidrógeno en nuestro globo y [matemática] R [/ matemática] es la constante de gas ideal.
Ahora podemos conectar nuestro valor para la presión en el espacio profundo, usar un valor para [matemática] T [/ matemática] de 2.7K y expresar [matemática] V [/ matemática] en términos de radio:
[matemáticas] P_ {espacio} \ frac {4} {3} \ pi r ^ 3 = nRT_ {espacio} [/ matemáticas]
esto nos da (aproximadamente):
[matemáticas] 2.5 \ cdot10 ^ {- 12} r ^ 3 = n [/ matemáticas]
Suponiendo hidrógeno isotópicamente puro (es decir, la masa molar es 1 g / mol) y convirtiendo de g a kg, entonces podemos determinar la masa de nuestro globo (suponiendo que nuestro material mágico no pese nada), esto es igual a:
[matemáticas] 2.5 \ cdot10 ^ {- 15} r ^ 3 [/ matemáticas] kg
Podemos volver a conectar esto a nuestra expresión original para obtener:
[matemáticas] g_ {tierra} = G \ frac {2.5 \ cdot10 ^ {- 15} r ^ 3} {r ^ 2} [/ matemáticas]
Cancelar algunos de los [math] r [/ math] ‘s:
[matemáticas] g_ {tierra} = G 2.5 \ cdot10 ^ {- 15} r [/ matemáticas]
Finalmente, conectemos valores para gy G:
[matemáticas] 9.8 = 6.67408 \ cdot10 ^ {- 11} \ cdot 2.5 \ cdot [/ matemáticas] [matemáticas] 10 ^ {- 15} r [/ matemáticas]
[matemáticas] 9.8 = 16.7 \ cdot [/ matemáticas] [matemáticas] 10 ^ {- 26} r [/ matemáticas]
[matemática] \ por lo tanto r = \ frac {9.8} {16.7 \ cdot10 ^ {- 26}} [/ matemática]
[matemáticas] r = 5.9 \ cdot [/ matemáticas] [matemáticas] 10 ^ {25} m = 6.2 \ cdot10 ^ 9 [/ matemáticas] años luz
Compare esto con las estimaciones actuales del tamaño del universo de [matemáticas] 91 \ cdot [/ matemáticas] [matemáticas] 10 ^ 9 [/ matemáticas] ly. Ese es un globo bastante grande …
¡Antes de ser ridiculizado por físicos mucho mejores que yo, mi lengua está firmemente en mi mejilla! Sé que he hecho algunas aproximaciones extremadamente groseras y esta respuesta es totalmente poco realista, ¡pero fue divertido llegar aquí!
Editar: actualizado para corregir algo de LaTeX, y sí, sé que no he incluido la atracción gravitacional del Hidrógeno a sí mismo …
