Teoría de la homotopía cromática. Hay una clase de “teoremas de fracturas” que le dicen que puede dividir un tipo de homotopía estable en su parte racional y sus localizaciones p, con p que se extiende sobre los números primos. Luego puede estudiar un espacio localizándolo de a uno por vez al estudiar sus filtraciones cromáticas. Todavía hay muchas preguntas abiertas que giran en torno a las leyes grupales formales, la teoría K y E de Morava y las localizaciones. Se siente como que hay aquí están sucediendo algunas cosas unificadoras más profundas que se relacionan con el álgebra conmutativa, y las extensiones de herramientas algebraicas en la teoría de la homotopía estable se agrupan en un campo emergente llamado Brave New Algebra.
Teoría de la homotopía suave. Se puede estudiar la teoría de la homotopía de los grupos de Lie ∞-group, que son esencialmente tipos de homotopía suaves. La relación entre la teoría de la homotopía uniforme y la teoría de la homotopía “clásica” se está investigando activamente.
Goodwillie Calculus. No estoy seguro si esto es tan activo como los dos anteriores, pero hay una gran cantidad de trabajo unificador que debe hacerse para que esta correspondencia sea sensata. La idea es que puede ver un espacio puntiagudo como una serie de potencia formal en una sola variable, con la correspondencia que relaciona la variable con el círculo, la multiplicación para aplastar el producto, la suma de las sumas de cuña, la suspensión para la multiplicación por la variable y los espacios de bucle a la división por la variable. Todavía hay desacuerdo sobre cómo se ve la correspondencia, pero nuevamente, parece que hay algo más profundo que sucede aquí.
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Modelos para categorías superiores. Si le preguntas a diez teóricos de la homotopía cuál es una categoría más alta, ciertamente podrías obtener más de diez respuestas diferentes. Tenemos muchos modelos para muchos sabores de categorías superiores, por lo que se está trabajando para unificarlos y descubrir qué información estructural debe mantenerse. Esto tiene algunas conexiones profundas con la teoría operada y el álgebra superior y, por supuesto, la topología algebraica.
Esto no es de ninguna manera exhaustivo, pero espero que esto te dé una pequeña muestra de lo que algunas personas están trabajando.
