Una [bala de cañón] disparada horizontalmente desde un acantilado tiene una velocidad dirigida a 60 grados por debajo de la horizontal cuando golpea el suelo 3.0 segundos después. ¿Qué tan alto es el acantilado? ¿A qué distancia de la base del acantilado aterriza la [bala de cañón]?
La altura del acantilado es aproximadamente
[matemáticas] \ qquad44.13 \; m \; [/ matemáticas] ([matemáticas] 144.78 \; ft [/ matemáticas]).
La bala de cañón golpeará ese suelo a una distancia del acantilado de aproximadamente
[matemática] \ qquad50.96 \; m \; [/ matemática] ([matemática] 167.19 \; ft [/ matemática]).
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Como existen fuerzas que trabajan en 2 direcciones diferentes en este problema, parece apropiado usar vectores de 2 dimensiones para resolverlo. Como es típico en problemas como este, otras fuerzas, como la resistencia del aire, serán ignoradas.
Primero definimos el origen para estar en la parte superior del acantilado donde se dispara el cañón. Esto nos dará una altura negativa, [matemáticas] h [/ matemáticas], cuando la bala de cañón golpea en la parte inferior, por lo que tendremos que tomar su valor absoluto.
Ahora definimos la aceleración, que es solo la fuerza de la gravedad y, dado que es hacia la tierra (en la dirección y), es negativa.
[matemáticas] \ qquad \ vec {a} (t) = \ binom {0} {- g} \; \ langle m / s ^ {2} \ rangle [/ matemáticas], donde [matemáticas] g \ aprox9.807 \; \ langle m / s ^ {2} \ rangle [/ math]
Luego lo integramos para obtener la ecuación de la velocidad. También tenemos que agregar la velocidad inicial de dirección x, [math] v_ {x} [/ math], que es una de las variables que debemos resolver.
[matemáticas] \ qquad \ vec {v} (t) = \ binom {0} {- g} t + \ binom {v_ {x}} {0} = \ binom {v_ {x}} {- gt} \; \ langle m / s \ rangle [/ math]
Nos integramos una vez más para obtener la ecuación para la posición de la bala de cañón. Debido a que establecemos el origen en la parte superior del acantilado, no tenemos que agregar la altura inicial de la dirección y.
[matemáticas] \ qquad \ vec {p} (t) = \ tfrac {1} {2} \ left (\ begin {array} {c} 0 \\ – g \ end {array} \ right) t ^ {2 } + \ left (\ begin {array} {c} v_ {x} \\ 0 \ end {array} \ right) t = \ left (\ begin {array} {c} v_ {x} t \\\ tfrac {1} {2} gt ^ {2} \ end {array} \ right) \; \ langle m \ rangle [/ math]
La pregunta nos dice que esa bala de cañón golpea el suelo en 3 segundos. La posición final del cañón ahora se puede calcular.
[matemáticas] \ qquad \ vec {p} _ {1} = \ left (\ begin {array} {c} v_ {x} t \\ – \ tfrac {1} {2} gt ^ {2} \ end { array} \ right) = \ left (\ begin {array} {c} 3v_ {x} \\ – \ tfrac {9} {2} g \ end {array} \ right) = \ binom {d} {- h } \; \ langle m \ rangle [/ math],
donde [matemática] h [/ matemática] es la altura del acantilado y [matemática] d [/ matemática] es la distancia x total que recorre la bala de cañón.
Para resolver [math] d [/ math] necesitamos primero resolver [math] v_ {x} [/ math]. Se nos dice que la bala de cañón golpea el suelo en un ángulo de [matemáticas] 60 ^ {\ circ} [/ matemáticas]. Necesitamos saber a qué velocidad se mueve la bala de cañón cuando toca el suelo, que es la ecuación de velocidad.
[matemáticas] \ quad \ begin {array} {cl} & \ vec {v} (t \! = \! 3) = \ binom {v_ {x}} {- 3g} \; \ langle m / s \ rangle \\ & \ tan \ theta = \ tan \ left (180 ^ {\ circ} -60 ^ {\ circ} \ right) = \ tan \ left (120 ^ {\ circ} \ right) = \ tan \ tfrac { 2 \ pi} {3} = \ tfrac {y} {x} = \ tfrac {-3g} {v_ {x}} \\ \ Rightarrow & v_ {x} = \ tfrac {-3g} {\ tan \ tfrac {2 \ pi} {3}} \ approx \ tfrac {-29.421} {- \ sqrt {3}} \ approx16.9862 \; \ langle m / s \ rangle \ end {array} [/ math]
Ahora podemos resolver para [matemáticas] h [/ matemáticas] y [matemáticas] d [/ matemáticas].
[matemáticas] \ qquad \ vec {p} _ {1} = \ left (\ begin {array} {c} 3v_ {x} \\ – \ tfrac {9} {2} g \ end {array} \ right) \ approx \ binom {3 \ cdot16.9862} {- 4.5 \ cdot9.807} \ approx \ binom {50.96} {- 44.13} = \ binom {d} {- h} \; \ langle m \ rangle. [/ matemáticas]
Nota especial:
Dado que el OP era anónimo, es casi un hecho que esta era una pregunta de tarea. Debería darte vergüenza. Solo te lastimas a ti mismo. También noto que al menos 2 personas dieron muy buenas respuestas, pero nadie (hasta que yo) las haya votado. Esta es otra pista fuerte de que era una pregunta de tarea, y que el OP fue ingrato. La culpa es tuya de nuevo. Si alguien te hizo la tarea, lo menos que puedes hacer es agradecerle por su tiempo y esfuerzo.
Debido a que han pasado unos meses desde que se hizo la pregunta, no vi ningún daño al responderla ahora. Además, nadie más había probado el enfoque vectorial, que en mi opinión es la forma más intuitiva de resolverlo, aunque explicarlo puede ser un poco largo.
