Considere una placa triangular con grosor ([matemática] t [/ matemática]) que gira alrededor del eje Z que es perpendicular a la placa (fuera de la página en Z):
El momento de inercia masivo se define como:
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[matemáticas] I = mr ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] m = [/ matemáticas] masa
[matemática] r = [/ matemática] distancia perpendicular entre la masa y el eje de rotación.
Para una forma compleja como esta placa triangular, la masa varía con el radio, por lo que definimos el momento de inercia como:
[matemáticas] I = \ int r ^ 2dm [/ matemáticas]
Comienzo definiendo un elemento de forma rectangular infinitamente estrecho con longitud L y ancho [math] dr [/ math] y area = [math] dA [/ math] como se muestra arriba (sombreado en amarillo). Esta área está a una distancia [matemática] r [/ matemática] del eje Z. La integración de [matemática] r [/ matemática] [matemática] = 0 [/ matemática] a [matemática] r = H [/ matemática] sumará todos los rectángulos estrechos y tendrá en cuenta la masa total de la placa triangular.
utilizando proporciones, [matemáticas] \ frac {B} {H} = \ frac {L} {r} [/ matemáticas]
o [matemáticas] L = (\ frac {B} {H}) r [/ matemáticas]
PARTE 1. Primero derive una expresión para la masa total de la placa
masa = (densidad) (volumen)
o
[matemáticas] dm = \ rho dV = (\ rho t) dA [/ matemáticas]
donde [math] \ rho [/ math] = densidad de la placa, [math] t [/ math] = grosor de la placa
pero el área del elemento de forma rectangular [matemáticas] dA = Ldr = (\ frac {B} {H}) rdr [/ matemáticas]
[matemáticas] \ por lo tanto [/ matemáticas] [matemáticas] dm = \ rho t (\ frac {B} {H}) rdr [/ matemáticas] ————- ecuación 1
[matemáticas] m = \ int dm = \ int_ {r = 0} ^ {r = H} \ rho t (\ frac {B} {H}) rdr [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ rho t (\ frac {B} {H}) \ int_ {r = 0} ^ {r = H} r dr [/ matemáticas]
[math] = \ rho t (\ frac {B} {H}) [\ frac {r ^ 2} {2}] [/ math] evaluado entre [math] r = 0 [/ math] y [math] r = H [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ rho t (\ frac {B} {H}) (\ frac {H ^ 2} {2}) [/ matemáticas]
o [matemáticas] m = \ rho t \ frac {BH} {2} [/ matemáticas]
PARTE 2. Determine [matemáticas] I_Z [/ matemáticas]
[matemáticas] I_Z = \ int r ^ 2 dm [/ matemáticas]
sustituyendo la ecuación 1 (arriba) da
[matemáticas] I_Z = \ int r ^ 2 (\ rho t (\ frac {B} {H}) rdr) [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ rho t (\ frac {B} {H}) \ int_ {0} ^ {H} r ^ 3 dr [/ matemáticas]
[matemática] = \ rho t (\ frac {B} {H}) [\ frac {r ^ 4} {4}] [/ matemática] evaluada entre [matemática] r = 0 [/ matemática] y [matemática] r = H [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ rho t (\ frac {B} {H}) (\ frac {H ^ 4} {4}) [/ matemáticas]
o
[matemáticas] I_Z = \ rho t (\ frac {BH ^ 3} {4}) [/ matemáticas]
El momento de inercia en términos de la masa de la placa sería:
[matemáticas] I_Z = \ rho t (\ frac {BH ^ 3} {4}) = (\ rho t (\ frac {BH} {2})) (\ frac {H ^ 2} {2}) [/ matemáticas]
o
[matemáticas] I_Z = m (\ frac {H ^ 2} {2}) [/ matemáticas]
