¿Cuál fue la primera planta en vivir / crecer en el planeta?

Bueno, las plantas pertenecen al género Plantae.

Eso descarta las cianobacterias (son procariotas, mientras que las plantas son eucariotas): en inglés, el núcleo de las cianobacterias no tiene membranas a su alrededor.

De las cianobacterias evolucionaron las algas. Las primeras algas son Charophyta.

Los primeros organismos fotosintéticos se parecen a algo así

Fuente: Charophyta – Wikipedia

De Charophyta aparecieron plantas llamadas Embryophyta. Las plantas no son acuáticas y, aunque necesitan agua (ambientes húmedos) para dispersar los gametos, “inventaron” el fragmoplástico, que se utiliza para separar las células durante la división celular. También “inventaron” el tonoplasto, una membrana que rodea las células y les permite mantener su forma en tierra.

Las primeras plantas se parecían a esto.

Marchantiophyta, primeras plantas no vasculares

Cito: “en 2010, se encontraron cinco tipos diferentes de esporas de hepáticas fosilizadas en Argentina, que datan del … Ordovícico medio, hace unos 470 millones de años

Fuente: Marchantiophyta – Wikipedia

De las hepáticas vinieron musgos, luego Hornworts, líquenes, helechos, plantas sin flores (coníferas o pinos y similares) y plantas con flores.

Supongo que los musgos, y aparentemente tuvieron un gran efecto en el clima.

Primeras plantas terrestres hundieron la Tierra en la era de hielo

Los científicos no lo saben. Piensan que los líquenes y los musgos fueron las primeras plantas en desarrollarse, pero el registro fósil es incompleto en el mejor de los casos.