Probablemente hay muchas maneras de responder esta pregunta. Espero ver a los físicos intervenir.
- La solución a la ecuación de calor [matemáticas] \ frac {du} {dt} = \ Delta u [/ matemáticas] tiene como solución fundamental [matemáticas] u (x, t) = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi t}} e ^ {\ frac {-x ^ 2} {t}} [/ math]. Esta es la distribución gaussiana, que es la distribución del movimiento browniano en un tiempo fijo t. De esta manera, puede pensar en Brownian Motion que describe la difusión de calor a nivel micro.
- Desde un punto de vista más probabilístico, considere el Lema de Ito, que es la regla de la cadena para el cálculo estocástico. La regla de la cadena dice que si [math] W_t [/ math] es un movimiento browniano y [math] f [/ math] es una función C ^ 2, entonces [math] df (W_t) = \ bigtriangledown f (W_t) dW_t + \ Delta f (W_t) dt [/ math]. Esta fórmula es la forma formal en que se pueden conectar las PDE parabólicas / elípticas de segundo orden y probabilidad. También le permite hacer cosas divertidas como estimar las soluciones de PDE por los métodos de Monte Carlo.
