Al ver cómo he sido A2A’ed dos veces, voy a intentar responder, y otros pueden seguir mejorando. Haré todo lo posible para responder la pregunta (no conozco a nadie más en Quora que pueda A2A tristemente).
Claramente, estamos hablando de ondas EM. Esto significa que necesitamos hablar de fotones. Esto significa luz. Esto significa relatividad especial. Por lo tanto, tenemos que recurrir a ecuaciones relativistas para comenzar, preferiblemente en un medidor adecuado que implique potencial eléctrico. Vamos a hacerlo paso a paso.
Densidades hamiltonianas y lagrangianas
Brevemente, tome su copia antigua favorita de Goldstein, desempolve la cubierta y ábrala en una página aleatoria. Encontrarás las relaciones entre estas dos densidades.
[matemática] \ matemática {H} = \ pi \ dot {\ phi} – \ matemática {L} [/ matemática]
donde ese impulso correspondiente es
[math] \ pi = \ frac {\ partial \ mathcal {L}} {\ partial \ dot {\ phi}} = \ frac {\ partial \ mathcal {L}} {\ partial (\ partial_t \ phi)} [ /matemáticas]
- ¿Puede un solo fotón tener polarización circular o la polarización circular solo es posible para un haz de luz?
- ¿Cuáles son algunos de los usos cotidianos de los electroimanes?
- ¿Qué pasa si fluimos una corriente a través de un material magnético?
- ¿Por qué ocurre la inducción electromagnética solo cuando el conductor corta las líneas del campo magnético?
- ¿Por qué una onda EM transversal no permanece más transversal mientras se propaga a través de guías de onda?
De estos, está claro que definimos nuestro Lagrangian y Hamiltonian por
[matemática] L = \ int_V \ matemática {L} [/ matemática]
[matemática] H = \ int_V \ matemática {H} [/ matemática]
Usando un script más elegante para denotar las diferencias. Por supuesto, utilicé una notación integral aquí, simplemente para señalar que deseo integrar en el espacio, por lo que generalmente lo escribirías como [math] \ int_V \ equiv \ int \ mathrm {d} ^ 3 x [/ math] aunque algunas personas lo escriben molestamente como [math] \ int \ mathrm {d} x ^ 3 [/ math] lo que me confunde más. Depende del contexto, pero estoy divagando.
Formas relativistas de hamiltoniano / lagrangiano
Entonces, para tratar esto correctamente, necesitamos investigar cómo se transforman estas densidades (y los G-ians correspondientes) de Lorentz. Lo sabemos (bueno, fuera de mi cabeza o por inspección, supongo)
[matemáticas] \ begin {align} H & \ to \ gamma H \\ p \ dot {v} & \ to \ gamma \ beta ^ 2 p \ dot {v} \\ L & \ to \ frac {1} { \ gamma} L \ end {align} [/ math]
Entonces las densidades se transforman multiplicando lo anterior por un término [matemático] \ gamma [/ matemático] (piense en cómo se transforma el volumen, ¡solo en una dirección!)
[matemática] \ begin {align} \ mathcal {H} & \ to \ gamma ^ 2 \ mathcal {H} \\ \ pi \ dot {\ phi} & \ to \ gamma ^ 2 \ beta ^ 2 \ pi \ dot {\ phi} \\ \ mathcal {L} & \ to \ mathcal {L} \ end {align} [/ math]
El lagrangiano es el escalar de Lorentz (constante) aquí. Esto es asombroso Hamiltoniano no lo es.
Proca Lagrangian
En una primera suposición, las ecuaciones de Maxwell que se reformulan en forma hamiltoniana describen la partícula spin-1 con una masa de reposo distinta de cero. Esto me hace pensar que el Proca Lagrangian es un buen punto de partida. Por supuesto, el lagrangiano se define como
[matemática] \ matemática {L} _p = \ frac {1} {2} \ parcial ^ \ mu A ^ \ nu \ partial_ \ mu A_ \ nu – \ frac {1} {2} m ^ 2 c ^ 2 A ^ \ nu A_ \ nu [/ matemáticas]
donde [matemática] \ parcial ^ \ mu A ^ \ nu = \ parcial ^ \ mu A ^ \ nu – \ parcial ^ \ nu A ^ \ mu [/ matemática] (simplemente porque necesitamos simetría U (1) y esto hace que tiene sentido saber que los cargos están representados por [math] \ exp (i \ phi) [/ math] por ejemplo).
En el caso sin masa, puede ver que el segundo término se desvanece y simplemente tenemos
[matemática] \ matemática {L} _ {p, m = 0} = F ^ {\ mu \ nu} F _ {\ mu \ nu} [/ matemática] (si está utilizando la normalización del SI, probablemente necesite algo como [matemática ] \ frac {1} {4 \ mu} [/ math] delante). Por supuesto, esto se reescribe como
[matemática] \ matemática {L} _ {p, m = 0} = \ frac {1} {2} \ left (BH – DE \ right) [/ math]
que muestra [math] | E | = | cB | [/ math] para una partícula sin masa (como un fotón) y la densidad lagrangiana es cero. Esto sería cierto para la radiación electromagnética (creo).
Claramente un paso en la dirección correcta. Vamonos.
Ecuaciones de Klein-Gordon
Entonces tomamos la versión relativista de la ecuación de Schrodinger aquí. Piénselo de esta manera, primero pasamos de lo clásico a lo cuántico y, por lo tanto, esto lleva a la ecuación de Schrodinger, aunque de manera indirecta. Entonces necesitamos imponer una relatividad especial, y esto nos da una forma relativista: la ecuación KG. Reestablecido brevemente
[matemáticas] \ matemáticas {L} = \ frac {1} {2} \ dot {\ psi} ^ 2 – \ frac {1} {2} \ nabla \ psi \ cdot \ nabla \ psi – \ frac {1} {2} m ^ 2 \ psi ^ 2 [/ matemáticas]
Si usa la relación EL para encontrar las ecuaciones de movimiento en esta etapa
[matemática] \ frac {\ parcial ^ 2 \ psi} {\ parcial t ^ 2} – \ frac {\ parcial ^ 2 \ psi} {\ parcial x_i ^ 2} + m ^ 2 \ psi = 0 [/ matemática]
y deberíamos estar listos para irnos. La conversión a la densidad hamiltoniana también es sencilla y debería ser (por inspección, tal vez un error de signo aquí)
[matemáticas] \ matemáticas {H} = – \ frac {1} {2} \ dot {\ psi} ^ 2 – \ frac {1} {2} \ nabla \ psi \ cdot \ nabla \ psi + \ frac {1 } {2} m ^ 2 \ psi ^ 2 [/ matemáticas]
Ja Mentí. Es más o menos lo negativo de los lagrangianos. Totalmente casual pero conveniente! Y en realidad es aquí donde puedes adivinar cómo se transforma al aplicarlo a una onda plana
[matemáticas] \ psi \ propto \ exp (-i E t + ipx) [/ matemáticas]
lo que me atrapa
[matemática] \ matemática {H} \ propto E ^ 2 + p ^ 2 + m ^ 2 \ propto \ gamma ^ 2 + \ beta ^ 2 \ gamma ^ 2 + 1 \ propto \ gamma ^ 2 [/ math]
lo cual es un buen control de cordura. De todos modos, sigamos adelante. En realidad, una cosa más me vino a la mente. Si quisiéramos la compleja ecuación de Klein-Gordon donde describimos una partícula con una antipartícula, entonces es un cambio rápido
[matemáticas] \ matemáticas {L} = \ frac {1} {2} \ izquierda (- \ dot {\ psi} \ dot {\ psi} ^ * + \ nabla \ psi ^ * \ cdot \ nabla \ psi – m ^ 2 \ psi ^ * \ psi \ right) [/ math]
y una inspección rápida también podría llevarte al Hamiltoniano. Ahora sigamos adelante.
Interacción con la Proca Lagrangiana
Ahora agregue el término de interacción porque el 4 potencial [matemático] A ^ \ mu [/ matemático] que definimos anteriormente actúa sobre partículas cargadas en nuestro sistema. Antes ignoramos esta parte, pero dado que es solo interacción, pensamos en ella como una perturbación, excepto que no. Porque eso está mal. (pero funciona un poco)
[math] \ mathcal {L} _ \ mathrm {int} = j_ \ nu A ^ \ nu [/ math]
que es un escalar de Lorentz (esto es algo bueno). Conecte esto en el Lagrangiano, calcule su ecuación de movimientos, y debería ser algo como esto
[math] \ partial_ \ mu \ partial ^ \ mu A ^ \ nu – \ partial ^ \ nu \ partial_ \ mu A ^ \ mu = \ mu_0 j ^ \ nu [/ math]
y mencioné antes, nuevamente, probablemente deberíamos trabajar en un indicador conveniente. Obviamente, ese indicador es el indicador de Lorentz. Entonces supongo que [matemática] A ^ \ mu [/ matemática] es una corriente conservada (esto simplemente cancela algunas cosas para facilitar las matemáticas: una condición similar es tener un campo magnético no divergente si lo desea; lo que entra debe salir). Entonces tenemos
[matemáticas] \ parcial_ \ mu \ parcial ^ \ mu A ^ \ nu = \ mu_0 j ^ \ nu [/ matemática]
Te lo dije simplificado, ¿no? Honestamente, de todos modos no quería lidiar con el segundo término, ya que es mucho mejor con el primero. Usando la sustitución que mencioné anteriormente, nos recuperamos
[math] \ partial_ \ mu \ left (\ partial ^ \ mu A ^ \ nu – \ partial ^ \ nu A ^ \ mu \ right) = \ mu_0 j ^ \ nu [/ math]
lo cual, nuevamente, se debe a la simetría U (1), o puede pensar erróneamente como una regla de cadena en acción. Esto da
[matemáticas] \ parcial_ \ mu F ^ {\ mu \ nu} = \ mu_0 j ^ \ nu [/ matemáticas]
Y hemos terminado.
…
…
…
…
…
¿Todavía estás aquí porque todavía estás confundido? Lo malo es que esto da las formas no homogéneas de las ecuaciones de Maxwell.
[matemáticas] \ begin {align} \ nabla \ cdot E = c \ mu_0 j ^ 0 & = \ frac {1} {\ epsilon_0} \ rho \\ \ nabla \ times B – \ frac {1} {c ^ 2 } \ frac {\ partial E} {\ partial t} & = \ mu_0 \ vec {j} \ end {align} [/ math]
Por supuesto, puedo ver la ecuación anterior y razonar que si me siento en un escritorio y expando todo y recopilo términos, puedo obtener las ecuaciones de Maxwell anteriores, y no veo por qué no debería hacerlo.
Proca Hamiltonian
Maldita sea. Pensé que podría salirse con la suya. Bueno, hice trampa, más o menos. Usé el lagrangiano, pero es mucho más conveniente en este caso. Todas las derivaciones deben ser iguales. ¿Pero cómo consigo el Proca Hamiltonian? Bueno, si lo haces bien, obtienes
[matemática] \ matemática {H} _p = – \ frac {1} {2} \ parcial ^ \ nu A ^ \ mu \ parcial ^ \ nu A ^ \ mu + \ frac {1} {2} mc ^ 2 A ^ \ mu A ^ \ mu [/ matemáticas]
con la misma notación compacta de mierda que usé arriba
[matemática] \ parcial ^ \ mu A ^ \ nu \ a \ parcial ^ \ mu A ^ \ nu – \ parcial ^ \ nu A ^ \ mu [/ matemática]
que te da (campo de masa cero, los mismos pasos que hice en el caso de un lagrangiano)
[matemática] \ matemática {H} _p = F ^ {\ mu \ nu} F ^ {\ mu \ nu} = \ frac {1} {2} \ left (BH + DE \ right) [/ math]
Hora de tomar una copa.
