Este es un rompecabezas tensor de energía de estrés: debe comprender que esta no es una situación estática por sí sola, las dos placas del condensador se colapsarán entre sí en ausencia de tensiones adicionales, y el colapso se dilata con el tiempo. El marco móvil hace que todo sea consistente. Desea modelar un condensador estático, por lo que necesita dos placas cargadas infinitas separadas por un material elástico que está bajo tensión separándolas. El material elástico es necesario para mantener la situación estática, y si no lo incluye, obtiene su paradoja. Este es un ejemplo simple de “tensiones de Poincare”: para hacer un balance de energía electromagnética, siempre debe incluir también las tensiones no electromagnéticas.
Para entender todo, primero considere una paradoja análoga mucho más simple en la mecánica newtoniana. Estoy parado en un metro, y no se mueve, y me apoyo en el poste. Empujo el poste hacia adelante con 20 Newtons de fuerza, pero el poste no se mueve, así que no estoy trabajando. Ahora el metro comienza a moverse. Todavía estoy apoyado en el poste, ¡pero ahora estoy trabajando! El empuje en el poste está en la dirección del movimiento. Pero, por la invariancia galileana, nada cambia. No me canso de repente porque el metro se está moviendo.
La resolución es que hay un flujo de impulso a través del poste, hacia el piso y de regreso a mí. El impulso horizontal fluye hacia el poste (porque lo estoy presionando) que fluye hacia el piso (porque el poste está unido al piso) y luego fluye hacia mí a través de mis pies (porque mis pies están en un piso con fricción ) Este circuito cerrado de impulso se convierte en un circuito cerrado de energía cuando se impulsa, de modo que en el metro en movimiento, hay un flujo de energía a través de mí hacia el poste y de vuelta a mis pies a través del piso. Los flujos de energía e impulso se mezclan.
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Lo mismo es cierto en la relatividad. Tienes un tensor de energía de estrés, que se transforma bajo potenciadores como un tensor relativista. La tensión en el campo electromagnético incluye una densidad de energía [matemática] E ^ 2/2 [/ matemática] en el componente tiempo-tiempo, pero también una tensión, una presión negativa, en el componente espacio-espacio, que representa la transferencia local de impulso de la placa superior a la placa inferior, que le dice que se unen. Cuando agrega una tensión mecánica y una energía mecánica para mantenerlo en equilibrio, tiene una suma de tensión electromagnética y tensión mecánica, y cada parte se transforma por separado correctamente. El esfuerzo neto para un condensador estático es cero, lo que significa que el flujo de impulso desde la placa superior a la inferior en el campo EM está equilibrado por el flujo de impulso hacia atrás a través del material elástico, y cuando aumenta las piezas por separado, obtiene paradojas aparentes, porque es solo el estrés total que tiene la propiedad de que obtienes una buena transformación que es intuitiva.
El problema es 2 dimensiones 1 espacio, 1 tiempo (puede reducir las dimensiones de la placa, no pasa nada en esas dimensiones), y el tensor de campo electromagnético en 2d es solo E veces el tensor epsilon bidimensional, y esto es invariante a los aumentos, por lo que, como dijiste, E es invariante. El tensor de tensión electromagnética bidimensional también es invariante, por lo que es proporcional al tensor métrico, en diagonal u, -u, lo que significa que hay una tensión negativa en el campo, un flujo de impulso entre las dos placas, igual al densidad de energía u, que representa la unión de las placas.
Hay un tensor de tensión mecánica adicional que está en diagonal A, u, cancelando la tensión, que cierra el circuito de impulso, de modo que todo permanece estático, y A representa la densidad de masa del material dieléctrico elástico comprimido entre las placas. De modo que el tensor de tensión neta en el marco de descanso es solo energía pura: A + u, 0 en diagonal. Cuando aumenta esto, obtiene \ gamma ^ 2 (A + u) en el componente tiempo-tiempo, \ gamma ^ 2 v (A + u) en el componente tiempo-espacio, y una tensión igual al cuadrado del tiempo- componente espacial, que, cuando se integra sobre el volumen reducido, le da el volumen multiplicado por 1 / \ gamma y la energía total y el momento correctos que espera.
Este es un buen rompecabezas, motiva a aprender muy bien el tensor de estrés. Nada en mecánica tiene sentido sin tensor de estrés. Una buena fuente para esto es el libro de Relatividad General de Schutz, donde el concepto de los flujos de momento se hace muy claro con diagramas, etc., apropiados para cualquier nivel.
