Los niveles de energía de un átomo pueden modelarse aproximadamente a partir de los niveles de energía del átomo de hidrógeno. Cuando calcula los niveles de energía no relativistas del átomo de hidrógeno, que podemos hacer exactamente (vea el enlace), descubre que los niveles de energía permitidos están dados por
[matemáticas] E_n = – \ frac {1} {2n ^ 2} \ frac {e ^ 2} {4 \ pi \ epsilon_0 a} [/ matemáticas]
donde [math] n [/ math] es cualquier número entero positivo, [math] e [/ math] es la carga del núcleo (un solo protón), [math] -e [/ math] es la carga del electrón, [math] \ epsilon_0 [/ math] es la permisividad del espacio libre y [math] a [/ math] es el radio de Bohr (la distancia promedio entre el protón y el electrón en el nivel de energía más bajo). Un valor mayor de [matemáticas] n [/ matemáticas] corresponde a un estado en el que el electrón está más alejado del núcleo en promedio. Si reemplazamos el protón de hydogen con un núcleo más pesado con carga [matemática] Ze [/ matemática] ([matemática] Z> 1 [/ matemática]), entonces los niveles de energía permitidos se convierten en
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[matemáticas] E_n = – \ frac {1} {2n ^ 2} \ frac {Ze ^ 2} {4 \ pi \ epsilon_0 a} [/ matemáticas]
Para crear un átomo neutro, debe agregar electrones [matemáticos] Z-1 [/ matemáticos] al sistema. Esto agrega muchas complicaciones, pero esencialmente los electrones más cercanos al núcleo (valores más bajos de [matemática] n [/ matemática]) “detectarán” parte de la carga nuclear para los electrones más alejados (valores mayores de [matemática] n [/matemáticas]). Es decir, en lugar de ver la carga nuclear [matemática] Ze [/ matemática], los electrones externos experimentarán una carga nuclear “efectiva” o “apantallada” [matemática] Z ^ * _ n e <Ze [/ matemática]. Cuantos más electrones entre un electrón dado y el núcleo, más detección hay para ese electrón. Esta aproximación nos da los principales niveles de energía,
[matemáticas] E_n = – \ frac {1} {2n ^ 2} \ frac {Z ^ * _ n e ^ 2} {4 \ pi \ epsilon_0 a} [/ matemáticas]
donde [math] n [/ math] se conoce como el número cuántico principal.
Sin embargo, esta no es toda la historia. Cuando realmente resuelva la ecuación de Schrödinger para el átomo de hidrógeno, encontrará que hay otros dos números cuánticos [matemática] (l, m) [/ matemática] correspondientes a los dos grados angulares de libertad. La energía solo depende del número cuántico principal [matemáticas] n [/ matemáticas], pero los estados propios de energía (los orbitales) dependen de los tres números cuánticos. Además, para cualquier estado energético propio descrito por el conjunto [math] (n, l, m) [/ math], el número cuántico [math] l [/ math] debe obedecer la relación [math] -n + 1 \ leq l \ leq n-1 [/ math], y [math] m [/ math] obedece a la relación similar [math] -l \ leq m \ leq l [/ math]. Todos los estados que pertenecen al mismo número cuántico principal [matemática] n [/ matemática] y, por lo tanto, corresponden a la misma energía [matemática] E_n [/ matemática], forman una capa de electrones.
Por ejemplo, la capa [math] n = 1 [/ math] (con energía principal [math] E_1 [/ math]) solo permite un valor de [math] l [/ math] (= 0) y un valor de [matemática] m [/ matemática] (= 0) y, por lo tanto, solo tiene un orbital espacial, llamado orbital 1s. Pero el [math] n = 2 [/ math] shell (con energía principal [math] E_2 [/ math]) permite [math] l = 0 [/ math] con [math] m = 0 [/ math] y [matemática] l = 1 [/ matemática] con [matemática] m = -1,0,1 [/ matemática], y por lo tanto tiene 4 orbitales, un solo orbital 2s y tres orbitales 2p.
Para ser claros, hasta ahora he descuidado totalmente el giro que divide cada orbital espacial en dos orbitales giratorios. Entonces, la capa [math] n = 1 [/ math] en realidad tiene 2 orbitales giratorios, la capa [math] n = 2 [/ math] tiene 8, etc.
