Interesante pregunta. No veo cómo funcionará, o tal vez no veo a dónde vas.
Las ecuaciones de Maxwell libres de fuente no vendrán de variar el tensor de intensidad de campo directamente en la densidad lagrangiana normal, sin duda. Visto a ese nivel, estas ecuaciones son realmente un conjunto de ecuaciones de restricción en la intensidad de campo.
Son las identidades (diferenciales) de Bianchi que satisface el tensor de intensidad de campo. La intensidad de campo en 4-d es una curvatura de dos formas, que es la derivada exterior de una conexión de 1 forma (el potencial vectorial) [matemática] F = d A [/ matemática]. La identidad simplemente toma la forma [math] dF = 0 [/ math] y se deduce de [math] d ^ 2 = 0 [/ math]. Es muy simple para un espacio plano y un campo de calibre abeliano.
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La densidad lagrangiana siempre debe ser un escalar de Lorentz. Forman esto en el enfoque de álgebra geométrica, si tengo razón, tomando la parte escalar del producto del tensor de intensidad de campo y su “reverso”. Es decir, si escribiéramos [matemáticas] F = (E + \ gamma_5 B) \ gamma_0 [/ matemáticas], tendríamos [matemáticas] F ^ {rev} = (E ^ k \ gamma_k \ gamma_0 – B ^ k \ gamma_k \ gamma_1 \ gamma_2 \ gamma_3) [/ math], y luego [math] (FF ^ {rev}) _ {scalar} = E ^ 2 – B ^ 2 [/ math], como de costumbre.
Entonces esa sigue siendo la densidad lagrangiana en el enfoque de álgebra geométrica.
(Por supuesto, necesitará agregar los términos fuente para obtener la densidad lagrangiana completa).
Me parece que si desea derivar las ecuaciones de un principio variacional derivado de la variación del tensor de intensidad de campo, entonces las ecuaciones libres de fuente deberán imponerse como una restricción, utilizando un multiplicador de Lagrange, por ejemplo.
