Una explicación detallada de la inestabilidad de las órbitas cercanas en la relatividad general debería comenzar con el “potencial efectivo centrípeto”, al menos para el caso más simple de una geometría de rotación insignificante. Sin embargo, una explicación más comprensible para los no físicos implica la “fuerza” centrífuga ficticia, que todos hemos experimentado lo suficiente como para desarrollar cierta intuición. La idea es que una órbita simplemente significa moverse lateralmente lo suficientemente rápido como para que un objeto caiga hacia adentro mientras continuamente pierde el centro. Intuitivamente, una “fuerza” centrífuga dirigida hacia afuera contrarresta la fuerza de gravedad interna (y puede hacer esto matemático con un potencial centrífugo efectivo). Sin embargo, en GR muy cerca de cualquier masa central, la “fuerza” centrífuga se debilita demasiado para contrarrestar la gravedad; en realidad puede volverse negativo (¡apunta hacia adentro junto con la gravedad!), lo que no deja nada para oponerse a caer hasta el centro.
Esto sucede porque para una trayectoria curva la fuerza centrífuga apunta en una dirección perpendicular a la trayectoria “recta” de un haz de luz tangente a la trayectoria. De manera crucial, la fuerza centrífuga apunta hacia afuera (desde la trayectoria hacia la trayectoria de la luz) y su magnitud depende de la rapidez con que la trayectoria se aleja de la trayectoria de la luz. Pero cuanto más se acerca un haz de luz a una gran masa, más se curva la luz, lo que reduce la divergencia de una trayectoria de partículas en curva. Dentro de la “esfera de fotones” la luz se curva aún más bruscamente que una órbita circular; en cuyo caso, una partícula que intenta mantener una órbita circular siente una “fuerza” centrífuga que apunta hacia adentro hacia el haz de luz en espiral, por lo que el aumento de la velocidad lateral hace que una partícula caiga más rápidamente hacia el centro. En la esfera de fotones, la fuerza centrífuga es cero porque la partícula no está divergiendo del camino “recto” de la luz; Las órbitas un poco más alejadas tienen una fuerza centrífuga positiva (dirigida hacia afuera), pero aún más débil de lo que Newton habría dicho, y no lo suficiente como para contrarrestar la gravedad. Tienes que salir más allá de un radio crítico dependiendo del momento angular de la partícula en órbita antes de que haya alguna órbita, y la partícula primero necesita más que un momento angular crítico para que exista ese radio crítico. Describiendo esto en detalle es donde entra en juego la maquinaria del potencial efectivo centrípeto, revise cualquier libro de texto de GR o vea muy detalladamente la geodésica de Schwarzschild. Recomiendo ver cómo el potencial efectivo cambia de forma a medida que varía el momento angular, con una barrera central que se hace más pequeña y luego desaparece en el momento angular crítico.
Las “masas ordinarias” tienen una densidad que pone sus superficies a demasiados radios Schwarzschild fuera de sus centros para que esto sea relevante, por lo que solo los agujeros negros tienen órbitas inestables GR. (Una vez investigué si las órbitas inestables y la fuerza centrífuga invertida también podrían ser relevantes para estrellas de neutrones muy densas; parece poco probable que extrapolara la ecuación de estado usando física nuclear conocida, pero apenas posible con algunas alternativas especulativas).
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Los lectores intuitivos pueden detenerse aquí, pero para los fanáticos de las matemáticas: la idea potencial efectiva es que la simetría esférica y la conservación del momento nos permiten convertir la dinámica tridimensional en un problema unidimensional. Primero restrinja la atención al plano orbital (perpendicular al vector de momento angular); entonces la velocidad angular es una función simple de la magnitud del momento angular [matemática] L [/ matemática] y el radio [matemática] r [/ matemática]. Sustituir eso en las ecuaciones de movimiento deja solo [matemáticas] r [/ matemáticas] indeterminado, deslizándose en un potencial efectivo unidimensional
[matemáticas] V_ {eff} (r) = \ frac {M c ^ 2} {2} \ left [- \ frac {r_s} {r} + \ frac {a ^ 2} {r ^ 2} – \ frac {r_s a ^ 2} {r ^ 3} \ right] \, = \, \ frac {M c ^ 2} {2} \ left [-1 / x + k / x ^ 2 – k / x ^ 3 \ derecha] [/ matemáticas]
donde la masa central es [matemática] M, \, a = L / Mc, \, k = a ^ 2 / r_s ^ 2, \, r_s = 2GM / c ^ 2, [/ matemática] y [matemática] x = r / r_s [/ math].
El término cúbico está ausente en la física newtoniana, y causa la inestabilidad relativista general en órbitas cercanas. La forma del potencial es básicamente cero en r grande, curvándose a un mínimo donde una partícula puede orbitar establemente a una constante [matemática] r [/ matemática]. Luego, en [math] r [/ math] más pequeño, el término cuadrático hace que el potencial se eleve nuevamente en una “barrera centrífuga” que evita que la partícula golpee el centro incluso si es perturbada en una órbita elíptica donde [math] r [/ matemática] oscila alrededor del mínimo potencial. Para la física newtoniana, eso es todo; pero en GR, el término cúbico negativo hace que el potencial aún más pequeño en [math] r [/ math] aumente y luego se sumerja en negativo. Ese pico es la ubicación de otra órbita circular donde la partícula puede sentarse en constante [matemática] r [/ matemática], pero puede ver que cualquier pequeña perturbación la envía deslizándose por el potencial hacia el centro o hacia el infinito (el la energía es positiva, así que no está ligada).
Ahora, a medida que reduce el momento angular o [math] k [/ math], la altura del pico se hace más pequeña, y su ubicación en [math] r [/ math] se acerca al mínimo donde se encuentra la órbita circular estable. En un momento angular crítico, el pico tiene una altura cero y se encuentra en la misma [matemática] r [/ matemática] como mínimo; no hay más barrera, así que esa es la ubicación de la órbita circular más interna.
