Cómo calcular los valores de presión crítica y temperatura para un gas dado (ecuación de Van der Waals)

Para un gas específico, necesita los coeficientes de van der Waals, que deberá buscar. La página de Wikipedia (constantes de Van der Waals (página de datos) – Wikipedia) es un buen punto de partida. Luego los conecta a las expresiones que está a punto de derivar después del siguiente párrafo.

Sin embargo, si su pregunta está más en la línea de “¿Cómo obtengo [math] p_c [/ math] y [math] T_c [/ math] de la ecuación de van der Waals?”, Entonces debe pensar en lo que está sucediendo en ese punto en el diagrama de fase pV . En la crítica py V, la isoterma correspondiente tiene un punto de inflexión con pendiente cero. es decir

[matemáticas] \ left (\ frac {\ partial p} {\ partial V} \ right) _ {T_c} = \ left (\ frac {\ partial ^ 2 p} {\ partial V ^ 2} \ right) _ { T_c} = 0 [/ matemáticas]

A partir de esta condición y un poco de álgebra, puede expresar la p crítica, V y T en términos de las constantes de van der Waals y la constante de gas.

La ecuación de estado de van der Waals, que a veces se ve como una modificación de la ley de los gases ideales, describe el comportamiento de los gases reales. Está dado por:

[matemáticas] \ izquierda (p \ color {azul} {+ \ frac {n ^ 2a} {V ^ 2}} \ derecha) (V \ color {verde} {- nb}) = nRT [/ matemáticas]

Sin los términos coloreados, se reduce a la ley de los gases ideales. El término azul se debe a las interacciones entre las moléculas de gas y el término verde se debe al volumen excluido de las moléculas.

La temperatura crítica ([matemática] T_c [/ matemática]) y la presión crítica ([matemática] p_c [/ matemática]) están marcadas en el diagrama anterior. El punto crítico es el punto donde [matemáticas] \ left (\ frac {\ partial p} {\ partial V} \ right) _T = \ left (\ frac {\ partial ^ 2 p} {\ partial V ^ 2} \ derecha) _T = 0 [/ math]. Esto da

[matemáticas] \ left (\ frac {\ partial p} {\ partial V} \ right) _T = – \ frac {nRT} {(V-nb) ^ 2} + 2a \ frac {n ^ 2} {V ^ 3} = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ left (\ frac {\ partial ^ 2 p} {\ partial V ^ 2} \ right) _T = \ frac {2nRT} {(V-nb) ^ 3} -6a \ frac {n ^ 2} {V ^ 4} = 0 [/ matemáticas]

Resolviendo estos, obtenemos

[matemáticas] V_c = 3nb [/ matemáticas]

[matemáticas] T_c = \ frac {8a} {27bR} [/ matemáticas]

[matemáticas] p_c = \ frac {a} {27b ^ 2} [/ matemáticas]