Si tuviera un poste indestructible de un año de luz y un motor para girarlo a una revolución por segundo, ¿los extremos viajarían más rápido que la luz? Si pudieras ver este poste, ¿cómo sería?

Has tocado una Paradoja muy interesante presentada por primera vez por Paul Ehrenfest, en 1909 llamada como la paradoja de Ehrenfest. Sin embargo, discute este experimento mental usando un disco circular en lugar de una varilla.

El movimiento circular en relatividad especial es algo complicado. Tenga en cuenta que para el movimiento circular, la aceleración en la barra que viaja en un círculo no es cero, por lo que la barra no está en un solo marco de inercia.

Según la relatividad especial, las distancias perpendiculares a la dirección del movimiento no están sujetas a contracción.

Por lo tanto, si los observadores en el centro de la barra ven que la barra va en un círculo con radio [matemática] R [/ matemática], entonces en su marco inercial la varilla está siempre a una distancia [matemática] R [/ matemática] el centro. Dado que la línea desde el centro hasta el borde de la barra es perpendicular a la dirección de vuelo, cualquier observador en el borde * también * creerá que siempre están a una distancia [matemática] R [/ matemática] del centro, por lo que también volar en un círculo

¡Sin embargo, experimentarán una circunferencia diferente! La mejor manera de resolver esto es considerar un polígono con [math] N [/ math] lados y luego dejar que [math] N [/ math] vaya al infinito. Si el observador en el centro mide cada lado del polígono como [matemática] L_0 / N [/ matemática] donde [matemática] L_0 [/ matemática] es la circunferencia del polígono en el marco inercial del observador central, entonces las personas del borde medir cada lado para ser

[matemáticas] L_0 / (N \ gamma) [/ matemáticas]

Por lo tanto, para [math] N \ rightarrow \ infty [/ math], el polígono se convierte en un círculo. Medido desde el centro, tiene circunferencia [matemática] L_0 [/ matemática], pero para la barra tiene circunferencia [matemática] L_0 / \ gamma [/ matemática].

Esto sugiere que la barra se mueve a través de la geometría no euclidiana, ya que viaja en un círculo cuya relación entre la circunferencia y el diámetro es menor que [matemática] 2 \ pi [/ matemática] Esta es una pista de que los cuadros de aceleración tienen geometría no euclidiana, que se trata en exceso en la relatividad general.

Otra forma de mostrar esto es:

El marco de referencia está fijado al centro estacionario de la barra. Entonces la magnitud de la velocidad relativa de cualquier punto en la circunferencia de la barra es [math] \ omega R [/ math]. Entonces la circunferencia sufrirá la contracción de Lorentz por un factor de [matemáticas] {\ sqrt {1 – (\ omega R) ^ {2} / c ^ {2}}} [/ matemáticas].

Sin embargo, dado que el radio es perpendicular a la dirección del movimiento, no sufrirá ninguna contracción. Entonces [matemáticas] {\ frac {\ mathrm {circunferencia}} {\ mathrm {diámetro}}} = {\ frac {2 \ pi R {\ sqrt {1 – (\ omega R) ^ {2} / c ^ { 2}}}} {2R}} = \ pi {\ sqrt {1 – (\ omega R) ^ {2} / c ^ {2}}} [/ math]. Esto es paradójico, ya que de acuerdo con la geometría euclidiana, debería ser exactamente igual a [math] \ pi [/ math].

Editar:

El disco giratorio y su conexión con la rigidez también fue un importante experimento de pensamiento para Albert Einstein en el desarrollo de la relatividad general.

“Imagine un círculo dibujado sobre el origen en el x’y ‘plano de K’ y un diámetro de este círculo. Imagine, además, que le hemos dado una gran cantidad de varillas rígidas, todas iguales entre sí. Suponemos que estas están colocadas en serie a lo largo de la periferia y el diámetro del círculo, en reposo relativamente a K ‘. Si U es el número de estas barras a lo largo de la periferia, D el número a lo largo del diámetro, entonces, si K’ no gira relativamente a K, tendremos $ U / D = \ pi $. Pero si K ‘gira obtenemos un resultado diferente. Supongamos que en un tiempo definido t, de K determinamos los extremos de todas las barras. Con respecto a K todas las barras sobre la periferia experimenta la contracción de Lorentz, pero las varillas sobre el diámetro no experimentan esta contracción (a lo largo de sus longitudes). Por lo tanto, se deduce que $ U / D> \ pi $.

Por lo tanto, se deduce que las leyes de configuración de cuerpos rígidos con respecto a K ‘no están de acuerdo con las leyes de configuración de cuerpos rígidos que están de acuerdo con la geometría euclidiana. Si, además, colocamos dos relojes similares (girando con K ‘), uno en la periferia y el otro en el centro del círculo, entonces, a juzgar por K, el reloj en la periferia irá más lento que el reloj en la periferia. centrar. Debe suceder lo mismo, juzgado por K ‘si definimos el tiempo con respecto a K’ de una manera no completamente antinatural, es decir, de tal manera que las leyes con respecto a K ‘dependan explícitamente del tiempo. El espacio y el tiempo, por lo tanto, no pueden definirse con respecto a K ‘como lo estaban en la teoría especial de la relatividad con respecto a los sistemas inerciales. Pero, de acuerdo con el principio de equivalencia, K ‘también debe considerarse como un sistema en reposo, con respecto al cual hay un campo gravitacional (campo de fuerza centrífuga y fuerza de Coriolis). Por lo tanto, llegamos al resultado: el campo gravitacional influye e incluso determina las leyes métricas del continuo espacio-tiempo. Si las leyes de configuración de los cuerpos rígidos ideales deben expresarse geométricamente, entonces, en presencia de un campo gravitacional, la geometría no es euclidiana “.

Referencia : http://abacus.bates.edu/~msemon/ …

No. El movimiento mecánico se propaga a la velocidad del sonido a través del material en cuestión. Si tuviera un poste de este tipo (e ignorando el hecho de que colapsaría por su propio peso), casi cualquier intento de rotarlo provocaría que se rompa, se rasgue o se doble.

Si intenta girar más fuerte, la varilla se enrollará alrededor de la fuente de rotación. Si fortalece la barra, simplemente se romperá. Si de alguna manera haces que la barra sea tan fuerte que no pueda doblarse ni romperse (lo que requeriría un orden de magnitud de material más fuerte que cualquier posible, incluso en teoría), lo máximo que puedes esperar es una ola de flexión que se propague por la barra a unas pocas decenas de miles de millas por hora (unas diez milésimas del uno por ciento de la velocidad de la luz).

Si te gusta la ciencia, quizás te guste mi galardonada muestra de ciencia ficción.

Sería mejor mirar el problema al revés.

El último metro del poste nunca alcanzará la velocidad de la luz. Solo puede ser acelerado por la sección del poste justo antes del final empujándolo. Esto solo puede transferir una cantidad limitada de energía por unidad de tiempo a lo largo del poste. Pero a medida que el último metro del poste se acerca a la velocidad de la luz, su masa tiende al infinito y la cantidad de energía necesaria para alcanzarlo un poco más rápido también se acerca al infinito. No importa cuán fuerte sea su poste o cuánto tiempo lo empuje, nunca podrá llevarlo a una energía infinita y a la velocidad de la luz.

Entonces, ¿qué pasa en el otro extremo? El extremo cerrado de la barra muy larga (VLR) se gira una vez por segundo, pero el extremo lejano no puede moverse tan rápido. Entonces, nuestro VLR debe doblarse o romperse. Si se dobla, se convierte en una espiral, se hace más larga y delgada, eventualmente solo una molécula de espesor y se rompe. Fin del experimento mental.

Considere el LHC: acelera los protones a 3,1 metros por segundo, aproximadamente la velocidad de marcha, menos que la velocidad de la luz, utilizando un acelerador circular de 8,6 km de ancho, imanes superconductores masivos y alrededor de 9 mil millones de dólares. Afeitarse esos últimos metros por segundo hacia abajo se vuelve cada vez más difícil y costoso. Si construimos un colisionador de un billón de dólares con un diámetro más grande e imanes aún más fuertes, sin duda podremos bombear más energía a esos protones, pero solo conseguiremos que vayan un poco más rápido. Incluso con un colisionador del diámetro del sistema solar o la galaxia, hay una velocidad que nunca lograremos. Es nuestro viejo amigo famoso, la velocidad de la luz.

Un material que es rígido en tales condiciones es imposible en nuestro universo. La imposibilidad de una rigidez perfecta (incluso en principio) es una de las consecuencias de la teoría de la relatividad.

Si construyeras este poste y comenzaras a rotarlo, la aceleración se propagaría a lo largo de él como una ola, a una velocidad alta que, sin embargo, es más baja que la velocidad de la luz en el vacío. Esto implica que la barra comenzaría a doblarse. En última instancia, dado que el centro gira más rápido de lo que los extremos pueden seguir, la varilla, suponiendo que no se rompa, adquirirá una forma espiral, muy similar a la crema giratoria en una taza de café.

No. Las fuerzas no viajan a velocidad infinita, las fuerzas mismas se limitan a la velocidad de la luz. En un material, creo que la propagación de la fuerza se limitaría a la velocidad del sonido en el medio. Si el “supermaterial” no permitiera que el poste se rompiera, tendría que tener cierta elasticidad. Al encender el motor, se iniciará una ola que recorrerá la longitud del poste antes de recuperarse.

No soy físico ni ingeniero, pero imagino que terminaría pareciendo una espiral cada vez más apretada.

Imagina que en lugar del poste conectado al motor, conectas un láser. Si enciende el láser y sigue el rayo, trazará una espiral de Archimdes. Dado que el haz de luz no necesita nada para mantener la integridad estructural, el camino del final en 1 año luz podría viajar prácticamente a una velocidad mayor que c, pero eso no es cierto para un objeto que debería mantener la integridad física. Al final del polo, tendrías átomos que se están separando.

Si permitiera que el súper material se estirara como elástico, el diámetro de la espiral estaría justo debajo de un radio de 1 / 2π años luz. (es decir, la distancia que tendría el extremo en movimiento en c). Si no permite que el material se estire, se enrollaría en una espiral de longitud 1 año luz, lo que tendría un diámetro significativamente menor.

Imaginemos esto: en lugar de un poste en el espacio, tenemos un modelo de faro en el centro de una habitación circular. Apaga las luces y el faro proyecta su haz en las paredes en lados opuestos de la habitación, al igual que tu poste giratorio.

Ampliando este concepto, ahora nuestro faro está en un asteroide en el espacio profundo, y la luz es un láser de luz visible bien sintonizado. En lugar de una pantalla circular, coloquemos un Observador donde pueda ver el haz del faro láser, digamos, a 1 año luz (LY) de distancia. En un momento acordado, encendemos el láser … y esperamos un año para que nuestro Observador lo vea.

Después de encender el láser, esperamos un año, y un día solo para estar seguros, ¿por qué no? Y comenzamos a girar el láser en el faro. Dijiste 1 rev / seg, que es bastante rápido para un faro (Lens Rotation de Thomas Tag), que está más cerca de un flash cada 10 segundos.

Un año y 1 día después de encender la viga, comenzamos a girar a 1 rev / seg. Un día después de ver por primera vez que se enciende el rayo, nuestro observador ve que el rayo comienza a parpadear … a 1 parpadeo por segundo.

Ahora reemplace el láser con su polo 1 LY mágicamente indestructible, y comience a girarlo 1 rev / seg. No habrá diferencia la frecuencia de la compresión del polo por la posición de nuestro observador seguirá siendo de 1 rev / seg.

¿Esperar lo? El final de ese poste debería estar girando alrededor de una ruta 6.28 LY cada segundo, ¿verdad?

Resulta que, no tanto. c no es solo la velocidad de la luz; es la velocidad máxima de cualquier posible transferencia de información, y eso incluye interacciones entre partículas de cualquier tipo, incluso aquellas que componen las partículas subatómicas de su polo.

A distancias relativistas, ya no podemos pensar en los rayos de luz, la radio o incluso la fibra de vidrio como “continuos”, sino más bien como el agua de una pistola de agua Super Soaker (R). Si cambia los objetivos mientras la corriente está encendida, la corriente parece doblarse, porque solo esas gotas de agua realmente apuntadas al objetivo llegarán allí.

Además de la reformulación parcial de la paradoja de Ehrenfest, hay dos resultados:

Si el poste es infinitamente rígido, no giraría, porque simplemente no hay suficiente energía para hacerlo girar.

Si el poste no fuera infinitamente rígido, el movimiento se propagaría como una onda, a la velocidad del sonido en el material del poste.

Otros cambios incluyen tirar o empujar un poste de un año luz, etc.

Puede comenzar a rotar el polo utilizando una aproximación no relativista para determinar la potencia de salida necesaria para lograr una cierta tasa de aumento de la velocidad angular. Pero a medida que los extremos posteriores del poste se acerquen a una fracción notable de la velocidad de la luz (en relación con el motor “estacionario” en el centro) tendrán más masa y requerirá más energía para acelerarlos aún más, y esa mayor masa también implicará fuerzas cada vez mayores en el polo).

Entonces, el resultado es que el polo largo hipotético no te aleja de los problemas de acelerar un objeto con una masa en reposo distinta de cero hacia la velocidad de la luz.

Sin embargo, * hay * un escenario con una geometría similar que te hace mover una “cosa” más rápido que la luz: considera un láser que gira a una modesta revolución por segundo, escaneando la superficie de la luna, que es aproximadamente 1.3 luz -segundos de distancia. ¿Qué tan rápido se mueve el punto de luz en la superficie de la luna? Bueno, atraviesa un 2 * pi * 1.3 ~ = 8.17 segundos luz por segundo.

Entonces, de hecho, se necesitaría un gato espacial hiper-relativista de velocidad warp para perseguir ese punto de luz.

Cómo puede ser esto ? Bueno, el punto de luz no es realmente una “cosa” en el sentido de la física, no tiene ninguna masa y no puede transferir ninguna información o causalidad de un lugar a otro. El hecho de que algunos fotones golpeen una parte de la superficie de la luna en el momento T, y luego otros fotones golpeen otra parte lejana de la superficie de la luna en T + 1 microsegundo, no viola ninguna ley de la física. Pero si dibujas un diagrama y lo miras de reojo, se ve * como * el poste largo que querías.

No hay motor que pueda girar el polo a 1 rpm. A medida que la punta del poste se acercaba a la velocidad de la luz (suponiendo que tuviera un súper material que pudiera resistir las fuerzas centrípetas), tendría que ejercer más y más torque para acelerar la barra, hasta que el torque requerido se acercara al infinito cuando la punta se acercara a la velocidad de la luz. Básicamente, acelerar la rotación en lugar del movimiento lineal no te permite vencer a la realidad básica, tienes que ACELERAR a la velocidad de la luz, y hacerlo requiere una potencia infinita.

No, eso no es lo que sucedería. Primero, los extremos se flexionarían evitando que excedan [matemática] c [/ matemática]. Segundo, la energía requerida para rotar se acercaría rápidamente a [math] \ infty [/ math]. Entonces, no, no puede hacer que exceda [matemáticas] c [/ matemáticas].

Eso no funcionaría. Necesitarías tanto una cantidad infinita de energía como un poste increíblemente fuerte, e incluso así, no serías capaz de girarlo a la velocidad de la luz. Derek Muller explica en este video.

Si tuviste un poste un año luz y fue infinitamente fuerte, será cada vez más difícil girar más rápido con el requisito de potencia del motor tendido hacia el infinito a medida que la punta del poste se acerca a la velocidad de la luz, es decir 1 / (2 x Pi) revoluciones por segundo. En otras palabras, es imposible girar la pértiga a 1 revolución por segundo.

Nunca podrías acelerar ese poste para que el final viaje más rápido que la luz.

Dejaré en paz los problemas de ingeniería estructural, que otros han presentado y que encuentro aburrido.

La cuestión es que necesitarás acelerar este poste para que gire, y cuanto más se acerque la punta del poste a la velocidad de la luz, más difícil será acelerarlo. Esto se debe a que cuanto más se acerca la punta a la velocidad de la luz, más pesado y masivo se sentirá. Hasta que sientas que estás tratando de acelerar el peso de todo el universo.

Así que sí, no importa qué tipo de poste tengas, en algún momento te encontrarás con un problema de ingeniería. 🙂

No hay materiales perfectamente rígidos en relatividad especial.

O no moverías todo el poste, o el poste se rompería en algún punto antes de que cualquier punto en el poste se moviera más rápido que la velocidad de la luz.

La cantidad de energía necesaria para acelerar objetos cerca de la velocidad de la luz no solo es enorme, sino que no es lineal. Esto significa que una vez que se acerque a las partes de la barra que teóricamente se acercarían a la velocidad de la luz, la cantidad de fuerza que las partes cercanas en la barra deben aplicarse entre sí es inmensa y cambia rápidamente; en cierto punto, una fuerza de marea, que crecerá arbitrariamente antes de que cualquier poste acelere más allá de la velocidad de la luz, rompería la barra.

Eso es todo asumiendo que tenías más poder disponible del necesario para mover la barra; un resultado más realista sería no lograr que la varilla gire en absoluto u obtener una rotación muy lenta.

Postular tal experimento es equivalente a rechazar STR, así que puedo ir a explorar mundos de fantasía contigo o simplemente decir: “No funcionará”. Elijo lo último.