Hola.
Creo que no es el caso. Esto tiene que ver con la definición de una función.
Explicado aquí como se enseña en términos teóricos establecidos: la respuesta del usuario de Quora a ¿Qué es un dominio en matemáticas?
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La imagen o rango de una sola función variable se define como:
Deje que [math] \ mathbb {K} [/ math] sea el dominio de una función, luego, deje que [math] \ mathbb {I} [/ math] sea la imagen o “rango” de una función, [math] \ mathbb {J} [/ math] ser co-dominio:
[matemáticas] \ mathbb {I} = \ {f (x) | x \ in \ mathbb {K} \} \ subseteq \ mathbb {J} [/ math]
Al observar una de las condiciones especiales que hacen que las relaciones sean funciones, es decir, que para cada elemento del dominio definido, existe cierta asignación a un elemento del codominio, puede ver que de esto se deduce que:
[matemáticas] | \ mathbb {I} | \ le | \ mathbb {K} | [/matemáticas]
Puede ver que la imagen o el rango pueden ser más pequeños que el dominio en cardinalidad, o como máximo igual.
Toma esta función constante:
[matemáticas] f (x): \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} [/ math]
[matemáticas] f (x) = 1 [/ matemáticas]
El dominio es [math] \ mathbb {R} [/ math], el codominio también es [math] \ mathbb {R} [/ math]
Pero la imagen o rango es? [matemáticas] \ {1 \} [/ matemáticas]
[matemáticas] | \ {1 \} | <| \ mathbb {R} | [/ math]
Ahora podemos ver otra función simple:
[matemáticas] f (x): \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} [/ math]
[matemáticas] f (x) = x [/ matemáticas]
Aquí, la imagen y el dominio son de la misma cardinalidad, de hecho es inyectiva, sobreyectiva y, por lo tanto, biyectiva, ya que la imagen es igual al codominio.
Por lo tanto, creo que nunca puede ser que la imagen o el rango tenga una cardinalidad mayor que el dominio, ya que cada elemento del dominio se asigna a un elemento del rango o imagen, por lo tanto, a lo sumo, podemos tener dos casos extremos:
- Cada elemento del dominio se asigna al mismo elemento de la imagen / rango. En este caso: [matemáticas] | \ mathbb {I} | = 1 <| \ mathbb {K} | [/matemáticas]
- Cada elemento del mapeo del dominio a un elemento diferente de la imagen / rango. En este caso: [matemáticas] | \ mathbb {I} | = | \ mathbb {K} | [/matemáticas]
- [matemáticas] 1 \ le | \ mathbb {I} | \ le | \ mathbb {K} | [/matemáticas]
Por lo tanto:
[matemáticas] | \ mathbb {I} | \ le | \ mathbb {K} | [/matemáticas]
