En las unidades del SI, la ley de Faraday dice
\ begin {ecuación}
\ nabla \ times E = – \ frac {\ partial B} {\ partial t}
\ end {ecuación}
y si tomamos la divergencia de ambos lados, a la izquierda obtenemos cero ya que la divergencia de un rizo siempre se desvanece, mientras que a la derecha obtenemos cero ya que [math] \ nabla \ times B = 0 [/ math].
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Si existieran cargas magnéticas, entonces la ley de Gauss para el magnetismo tendría que cambiarse a [math] \ nabla \ times B = \ mu_0 \ rho_m [/ math]. Debido a esto, la ley de Faraday ya no sería matemáticamente consistente en su forma actual. El lado izquierdo aún tendría divergencia cero, pero el lado derecho tendría divergencia [matemática] – \ mu_0 \ frac {\ partial \ rho_m} {\ partial t} [/ matemática].
Para restaurar la consistencia matemática, debemos agregar un término al RHS de la ley de Faraday que tenga divergencia [matemática] + \ mu_0 \ frac {\ partial \ rho_m} {\ partial t} [/ math], para que el La divergencia global del RHS sería cero.
Como la carga magnética y la densidad de corriente satisfarían una ecuación de continuidad análoga a la eléctrica:
\ begin {ecuación}
\ nabla \ cdot J_m = – \ frac {\ partial \ rho_m} {\ partial t}
\ end {ecuación}
Por lo tanto, sabemos que un término adecuado para agregar al RHS de la ley de Faraday sería [matemáticas] – \ mu_0 J_m [/ matemáticas]. La ecuación corregida luego lee:
\ begin {ecuación}
\ nabla \ times E = – \ frac {\ partial B} {\ partial t} – \ mu_0 J_m
\ end {ecuación}
Hay otra forma más profunda en la que podemos “adivinar” el término [matemáticas] – \ mu_0 J_m [/ matemáticas], y eso es a través del principio de dualidad electromagnética. De acuerdo con este principio, los fenómenos eléctricos y magnéticos son “duales” entre sí en el sentido de que cada fenómeno eléctrico tiene una contraparte magnética exacta y viceversa. Ya podemos ver esto en las ecuaciones de Maxwell incluso sin cargas magnéticas: así como un campo magnético cambiante produce un campo eléctrico, lo contrario también debe ser cierto. Se deduce que si las corrientes eléctricas producen campos magnéticos, las corrientes magnéticas también deben producir campos eléctricos.
Esto puede hacerse matemáticamente preciso diciendo que hay una transformación de simetría física de la forma [matemáticas] E ^ \ prime = cB; B ^ \ prime = -E / c [/ math]. En otras palabras, intercambie los campos eléctricos y magnéticos, pero luego cambie el signo del campo B (y use algunos factores de c para que las unidades funcionen). Cuando haga esto, haga lo mismo con todas las demás cantidades eléctricas y magnéticas al mismo tiempo. Por ejemplo, los dipolos eléctricos y magnéticos se transformarían entre sí de acuerdo con: [matemáticas] p ^ \ prime = \ mu / c; \ mu ^ \ prime = -cp [/ math]. Cuando aplica dicha transformación de dualidad a la ley de Ampère con la corrección de Maxwell:
\ begin {ecuación}
\ nabla \ times B = \ mu_0 J_e + \ frac {1} {c ^ 2} \ frac {\ partial E} {\ partial t}
\ end {ecuación}
el resultado es:
\ begin {ecuación}
\ nabla \ times \ frac {E ^ \ prime} {c} = \ mu_0 (-J_m ^ \ prime / c) + \ frac {1} {c ^ 2} \ frac {\ partial} {\ partial t} ( -cB ^ \ prime)
\ end {ecuación}
que se simplifica a
\ begin {ecuación}
\ nabla \ times E ^ \ prime = – \ mu_0 J_m ^ \ prime – \ frac {\ partial B ^ \ prime} {\ partial t}
\ end {ecuación}
que es el mismo resultado que obtuvimos antes.
Si descubrimos una nueva partícula, no podemos “exigir” que los campos que produce deben satisfacer esta ecuación. Lo que podemos decir es que una partícula solo merece ser conocida como un monopolo magnético si se comporta como la mitad de un dipolo magnético. Ya sabemos que la simetría de dualidad entre dipolos eléctricos y magnéticos es válida. Si el monopolo magnético no tenía una relación de dualidad con los monopolos eléctricos, entonces los dipolos formados a partir de tales monopolos no podrían ser dipolos magnéticos legítimos que tengan una relación de dualidad con los dipolos eléctricos. Por lo tanto, tales partículas no se llamarían monopolos magnéticos, sino que serían otra cosa.
La dualidad también garantiza que una corriente magnética que viaja en un circuito cerrado produciría un momento dipolar eléctrico proporcional a la magnitud de la corriente y el área del circuito.
