¿Cómo explica la relatividad general la conservación de la energía de una piedra que cae?

El comportamiento de la piedra en un campo gravitacional es como el comportamiento de la luz.

En la relatividad general, el universo tiene tres dimensiones de espacio y una de tiempo, y al unirlas obtenemos espacio-tiempo de cuatro dimensiones, cuya gravedad es un efecto emergente de la curvatura espacio-tiempo asociada con las distribuciones de energía. Como dijo Einstein: “la materia le dice al espacio cómo doblarse; el espacio le dice a la materia cómo moverse “.

Cuando la gravedad actúa sobre el fotón, la energía del fotón aumenta y su frecuencia también aumenta (o disminuye). En el turno rojo el trabajo es negativo (la frecuencia disminuye) y en el turno azul el trabajo es positivo (la frecuencia aumenta). Cuando el fotón abandona el campo gravitacional, cambia a rojo y cuando el fotón cae, cambia a azul. Cuando la luz se mueve en el espacio y no hay efecto gravitacional, el camino de la luz es lineal. Ahora supongamos que la luz se mueve en el campo gravitacional de un cuerpo masivo. La gravedad funciona en eso.

Luz en campo gravitacional

Si los movimientos en el espacio no tienen efectos gravitacionales, los fotones se mueven linealmente con la velocidad de c (parte superior de la Figura). Pero el espacio está lleno de gravitones. Entonces, los caminos de los fotones son como el lado derecho de la Figura.

El lado izquierdo de la figura muestra que un fotón se mueve en un campo gravitacional de un cuerpo masivo.

En el punto A, el fotón tiene la velocidad c, la frecuencia v y la energía E que llega al punto A. El campo gravitacional actúa sobre el fotón, algunos gravitones entran en la estructura del fotón. El fotón acelera hacia el cuerpo masivo. Su frecuencia, energía y velocidad aumentan.

En el punto B, el fotón tiene una frecuencia v1, energía E1 y velocidad de c1. Durante el tiempo que cae el fotón, la distancia entre el fotón y el cuerpo disminuye, hasta que alcanza el punto G. En el punto G, la frecuencia, la velocidad y la energía son máximas para este fotón. Cuando el fotón alcanza el punto F ‘, es lo mismo que el punto F, y así sucesivamente. En el punto A ‘, es lo mismo que el punto A.

El comportamiento de los fotones y los campos gravitacionales es el mismo que el de la primavera y los objetos. En el lado izquierdo de la figura de arriba, cuando un fotón está cayendo, cambia a azul y la fuerza de gravedad se convierte en energía. Cuando el fotón se escapa de un cuerpo masivo, cambia a rojo y la energía se convierte en fuerza de gravedad.

Conservación en la relatividad general

En la gravedad newtoniana, una piedra que cae se modela como la pérdida de energía potencial gravitacional y la ganancia de energía cinética. Por lo tanto, la energía se conserva.

En la teoría general de la relatividad de Einstein, la gravedad ya no es una fuerza sino la consecuencia de la curvatura del espacio-tiempo por la presencia de materia y energía.

En este modelo del universo, una piedra que cae (ignorando el arrastre atmosférico) no tiene fuerza que actúe sobre ella y, por lo tanto, viaja a lo largo de una línea de energía constante, una geodésica. Por lo tanto, la energía también se conserva.

Es importante tener en cuenta que, en general, GR no ahorra energía debido a la presencia de ondas gravitacionales, pero en la mayoría de las situaciones, esto es insignificante.

Usando la ecuación geodésica y la métrica de la gravedad newtoniana. Una piedra que cae libremente se moverá sobre una geodésica del espacio-tiempo curvado por definición de caída libre. La derivación es un poco tediosa, pero el resultado final es que la tasa de cambio de energía con el tiempo resulta ser proporcional a la tasa de cambio de los componentes métricos con el tiempo. Entonces, si todos los componentes métricos son constantes en el tiempo, la energía se conservará.

El giro es que, en general, la relatividad siempre puede ir a un marco de referencia donde la métrica no es constante en el tiempo. Entonces, en general, la relatividad en la energía general no se conserva.

Afortunadamente, el marco de referencia de la tierra tiene la constante métrica en el tiempo, por lo que se conserva la energía.

Ahora, en la relatividad, la energía al cuadrado de una partícula en cualquier marco de referencia está dada por la magnitud del momento + energía de masa en reposo al cuadrado. Esta es la generalización de la famosa fórmula [matemáticas] E = mc ^ 2 [/ matemáticas],

[matemáticas] E ^ 2 = (mc ^ 2) ^ 2 + p ^ 2 [/ matemáticas]

Pero calcular [matemáticas] p ^ 2 [/ matemáticas] en el espacio-tiempo curvo no es sencillo, la métrica tiene que estar involucrada. En pocas palabras, si conectas la métrica de la gravedad newtoniana en esta fórmula, obtienes 3 componentes de energía: energía de masa, potencial gravitacional y energía cinética, por lo que la suma de estos 3 se conserva.

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