El papel de Thouless, Kohmoto, Nightingale y den Nijs (TKNN), Phys. Rev. Lett. 49, 405 (1982), Conductancia Hall cuantizada en un potencial periódico bidimensional, mostró que para electrones no interactivos en el nivel más bajo de Landau, la conductancia Hall es una invariante topológica. Específicamente, es la primera clase de Chern del mapeo de la zona de Brillouin en el complejo espacio proyectivo de funciones de onda, para electrones en un campo magnético uniforme y un potencial periódico bidimensional.
Ese resultado es muy elegante, pero los experimentos reales no se realizan utilizando potenciales que son exactamente periódicos. El poder real del resultado TKNN fue demostrado por Y. Huo y RN Bhatt, Phys. Rev. Lett. 68, 1375 (1992), Estados portadores actuales en el nivel más bajo de Landau, que utilizaron técnicas numéricas para calcular las estadísticas de los números de Chern para funciones de onda en presencia de un potencial aleatorio adicional que varía lentamente.
Lo que mostraron los resultados de Huo y Bhatt es que, para los electrones que no interactúan en un espacio bidimensional, no es posible separar los estados portadores de corriente y los estados localizados por Anderson (Ver: localización Anderson) por un borde de movilidad. Esto significa que la escala de un parámetro (Ver: Abrahams, Anderson, Licciardello y Ramakrishnan (AALR), Phys. Rev. Lett. 42, 673 (1979), Teoría de escala de la localización: Ausencia de difusión cuántica en dos dimensiones). trabajar en presencia de números cuánticos topológicos.
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Esto no es realmente sorprendente, ya que los números cuánticos topológicos no son consistentes con los supuestos de AALR. Lo importante es que nos da alguna esperanza de que el misterioso problema de la transición metal-aislante en dos dimensiones (Ver: Abrahams, Kravchenko y Sarachik, Rev. Mod. Phys. 73, 251 (2001), Comportamiento metálico y fenómenos relacionados en dos dimensiones.) eventualmente se resolverá.
