Aquí hay un argumento basado en la energía:
Imagine cargar la viga adiabáticamente, con una fuerza que crece gradualmente de 0 a [matemática] F [/ matemática] y la viga siempre en equilibrio. Luego, el trabajo realizado en la viga por la fuerza de carga se almacena completamente en la energía elástica de la viga. Este trabajo es [matemática] \ frac {1} {2} F d [/ matemática] con [matemática] d [/ matemática] la deflexión final de la viga.
A medida que la viga se dobla, imaginamos que la línea central de la viga no cambia de longitud. El cambio de longitud porcentual de cualquier otra parte de la viga es proporcional a qué tan lejos está de la línea central. Es decir, a medida que avanza hacia el borde exterior de la viga, se estira / comprime más.
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Cuanto más gruesa es la viga, más lejos está el material de la línea central en promedio, por lo que para una forma fija de la viga, el esfuerzo longitudinal promedio es lineal en el grosor. La energía elástica es proporcional al cuadrado de este esfuerzo, por lo que la densidad de energía elástica promedio es cuadrática en el grosor del haz. Finalmente, la cantidad total de material es lineal en el grosor del haz, por lo que la energía total almacenada para una desviación y longitud fija es cúbica en el grosor.
Por lo tanto, para desviar la viga la misma cantidad, si duplicamos el grosor de la viga, la carga debe multiplicarse por ocho, por lo que la rigidez es cúbica en el grosor de la viga.
Una solución completa requiere encontrar ecuaciones diferenciales para describir el estrés bajo equilibrio y resolverlas para condiciones límite, pero creo que este argumento de energía está bien para fines de escala.
