¿Cuán relevante ha encontrado su experiencia matemática en el concurso para el estudio e investigación matemática?

Primero, un poco sobre mí: representé a India en la Olimpiada Matemática Internacional (OMI) en 2003 y 2004 y gané las Medallas de Plata en ambas ocasiones (esto es mucho menos impresionante que llegar al equipo desde los EE. UU.). Luego estudié matemáticas a nivel de pregrado del Instituto de Matemáticas Chennai y completé un Ph.D. en teoría de grupos de la Universidad de Chicago. Ahora me voy de la academia. Tengo más información sobre mi experiencia en Olimpiadas en Olympiads

Contestaré dividiendo el plan de estudios de la Olimpiada en las cuatro categorías generales que se utilizan para la OMI y las Olimpiadas nacionales previas.

Mi breve respuesta es que la teoría de números y la combinatoria son bastante útiles, el álgebra es en gran medida útil (excepto las técnicas sofisticadas relacionadas con las desigualdades y las ecuaciones funcionales), y la geometría no es tan útil: su principal utilidad fue exponerme a una estructura hermosa y presentarme. a ideas relacionadas con transformaciones geométricas.

Otro comentario general. Hay muchas formas de prepararse para concursos de matemáticas. Creía que con alta probabilidad, estudiaría matemáticas a nivel de pregrado y posiblemente pasaría a un doctorado. Por lo tanto, elegí estudiar matemáticas para el concurso de una manera que creía que era más adecuada para estos objetivos a largo plazo (y tenía mucha razón en mi estrategia de cómo lograr el objetivo). Compré el texto de la teoría de los números elementales de Burton y lo revisé correctamente para conocer bien la teoría. Compré el texto combinatorio de Schaum y analicé las preguntas para tener una base sólida en técnicas combinatorias. Utilicé las Estrategias de resolución de problemas de Engel, que, aunque centradas en la Olimpiada, son ricas en sus explicaciones de las ideas subyacentes. No me concentré demasiado en las preguntas de la Olimpiada al comienzo de mi estudio, debido a este objetivo más amplio. En los casos en que me interesé en aspectos de matemática superior relacionados con mi estudio de Olimpiada, me sentí libre de explorarlos (sujeto a limitaciones de tiempo y mi capacidad de aprender todo por mí mismo).

ÁLGEBRA

Temas principales: polinomios, resolución de ecuaciones, desigualdades, ecuaciones funcionales

Partes que encontré útiles: teoría básica de polinomios, técnicas básicas de manipulación algebraica, idea aproximada (no competencia) de cómo abordar las desigualdades y las ecuaciones funcionales.

Partes que no encontré útiles: Básicamente, la gran cantidad de práctica que se utilizó para adquirir competencia en ecuaciones funcionales y desigualdades.

Déjame explicarte esto un poco más. Las ecuaciones funcionales son un tema de matemáticas de la Olimpiada que no se cubre explícitamente en matemáticas escolares o matemáticas universitarias. Pero las ideas principales detrás de las ecuaciones funcionales: conectar valores específicos en una expresión que sea idénticamente verdadera para deducir información sobre los objetos involucrados, es extremadamente útil a través de las matemáticas, y se vuelve cada vez más útil en las matemáticas superiores. El tema más directamente relacionado con las ecuaciones funcionales son las ecuaciones diferenciales (de hecho, las ecuaciones diferenciales son un tipo de ecuación funcional que relaciona el comportamiento local). Pero la idea de conectar valores específicos en condiciones generales es un elemento básico en gran parte de las matemáticas, y las ecuaciones funcionales son probablemente la parte de las matemáticas de la Olimpiada que mejor profundiza en esto.

Por otro lado, ser realmente bueno en ecuaciones funcionales implica aprender muchos trucos, y estos trucos son de poca utilidad para el estudio y la investigación matemática.

La idea básica de las desigualdades es muy útil para comprender las cosas sobre las normas L ^ p que uno ve en el análisis. Pero, una vez más, la mayoría de los trucos utilizados para manejar las desigualdades no son directamente relevantes para las matemáticas superiores (aunque quizás algunas ramas de las matemáticas superiores sí dependen mucho de las desigualdades, las evité).

GEOMETRÍA

Temas principales: geometría euclidiana plana, que incluye muchos datos sobre triángulos y círculos. Opcionalmente, también podríamos usar geometría de coordenadas, números complejos y trigonometría, así que aprendí todas estas técnicas.

Partes que encontré útiles: Comprender las transformaciones geométricas y las invariantes geométricas puede ser útil para la geometría como se ve en las matemáticas superiores. Este no es un tema central de matemáticas de concurso, pero es un tema complementario que muchos estudiantes aprenden porque a menudo proporciona soluciones más cortas y elegantes para resolver problemas de matemáticas.
Las complejidades de la geometría del triángulo pueden generar una apreciación de cómo una gran base de hechos puede estructurarse en la mente y combinarse con técnicas para resolver problemas, a pesar de que los hechos reales de la geometría del triángulo no son útiles. Experimenté este último efecto significativamente. La geometría del triángulo realmente condujo a la idea de las matemáticas como una colección de hechos que se unen maravillosamente en lugar de una colección de técnicas.

Partes que no me parecieron útiles: la mayoría de los hechos sobre la geometría de triángulos y los círculos; aquí me refiero a los hechos en sí mismos en lugar de lo que me enseñaron sobre la naturaleza de las matemáticas o sobre lo que me inspiraron. No he usado ningún dato sobre la geometría del triángulo en mis estudios de pregrado o posgrado, aunque me hubiera encantado (dado que había pasado tanto tiempo aprendiendo las cosas).

TEORÍA DE LOS NÚMEROS

Temas principales: Teoría de números elementales (sin utilizar explícitamente ninguna idea abstracta de álgebra), incluidas las congruencias y las ecuaciones de Diophantine

Partes que encontré útiles: Los teoremas básicos de la teoría de números, así como la facilidad para manipular congruencias, son muy importantes en el álgebra abstracta y, por lo tanto, en gran parte de las matemáticas que surgen del álgebra abstracta. La idea básica de cómo abordar los problemas de Diophantine vale la pena.

Partes que no encontré útiles: algunas de las técnicas para resolver ecuaciones de diofantina son artificiales. Esto todavía me habría sido útil si hubiera elegido una especialidad particular que implicara abordar tales ecuaciones, pero no aparecen en la mayoría de las investigaciones (incluida la mayoría de la teoría de números algebraicos y la teoría de números analíticos).

COMBINATORIOS

Temas principales: Reglas de conteo (combinatoria enumerativa) y combinatoria existencial (p. Ej., Teoría de Ramsey)

Partes que encontré útiles: La mayoría, porque tratar con estructuras matemáticas abstractas a menudo requiere el uso de procedimientos de conteo abstracto y argumentos de existencia, incluso para tener una idea de lo que está sucediendo. También me ayudó a comprender algoritmos y me preparó para la informática, aunque una discusión sobre lo que estaría más allá del alcance de la pregunta.

Piezas que no encontré útiles: nada, de verdad. Pero al igual que con la teoría de números, algunas de las construcciones combinatorias requieren demasiada inteligencia y adquirir competencia con eso no se transfiere mucho al resto del estudio y la investigación matemática.

Son actividades casi completamente diferentes. En matemáticas de concurso, su objetivo es encontrar una solución a un problema bastante simple y sin ambigüedades rápidamente. En matemáticas de investigación, estás trabajando en el mismo problema durante años, y probablemente ni siquiera tienes el vocabulario correcto para hablar sobre eso al principio (o incluso cuando comienzas a publicar artículos al respecto).

Nota: Estudié matemática olímpica en la escuela secundaria pero no participé en la OMI. Estoy escribiendo sobre mi experiencia en la universidad.

Lo que aprendí de las olimpiadas de matemáticas que encuentro realmente beneficioso:

1. Las matemáticas son hermosas. Algunos temas de las olimpiadas (como la combinatoria y la teoría de números) son transferibles a la investigación matemática, mientras que otros no, pero lo que todos tienen en común es que introducen efectivamente el sentido ‘estético’ de las matemáticas. Las matemáticas de la escuela secundaria, por otro lado, se centran en gran medida (y erróneamente) en la llamada “aplicación de la vida real” de las matemáticas, que es tanto artificial como aburrida. Por lo tanto, tener la oportunidad de participar en las olimpiadas de matemáticas fue una experiencia verdaderamente maravillosa.

2. Capacidades de autoaprendizaje. Hay muchos problemas olímpicos que ni siquiera mis maestros pueden resolver. Entonces, mis amigos y yo entendimos que siempre teníamos que confiar en nosotros mismos primero (si es posible, preferiríamos no obtener la solución de los maestros en absoluto, pero de vez en cuando hay problemas que parecen imposibles si no ha encontrado un problema similar). uno antes …)

3. Confianza Tengo la sensación de que si puedo superar estos problemas matemáticos realmente difíciles, debería tener la determinación necesaria para hacer cualquier cosa. Bueno, solo el sentimiento. Pero ciertamente me ayuda a llevar mi límite mucho más lejos. Podría escribir un artículo sobre artes marciales a pesar de que todo lo relacionado con las artes marciales que hago es mirar películas de Jackie Chan. Podría desarrollar una aplicación iOS existente con solo 2 semanas de experiencia en Objective-C. Podría producir más de 10 páginas de soluciones matemáticas con más frecuencia, lo que una vez pensé que estaba mucho más allá de mi liga. Demonios, incluso podría hablar con una chica. (todo lo anterior, excepto el último, fue solicitado por mis profesores, y dudo que pudiera haber completado alguno de ellos sin la resistencia que acumulé en mi entrenamiento olímpico)

Eso es lo que puedo pensar por el momento. 🙂

Algo relevante Tomé el examen de Putnam en la universidad y el entrenador de mi equipo fue uno de los calificadores. Aprendió después de que obtuve aproximadamente 1/4 de los puntos que debería tener porque resolví algunos problemas perfectamente, pero de una manera que nadie más lo sabía, y los calificadores no sabían quién era, así que simplemente marcaron las respuestas como mal en lugar de leerlos cuidadosamente. Lo encontré frustrante en ese momento, pero aprendí que el prestigio de una institución no garantiza que las personas involucradas hagan un trabajo bueno y cuidadoso (o incluso sean competentes, aunque en este caso espero que lo fueran).

Probablemente este no sea el tipo de respuesta que desea.

Mi pregunta puede ser un poco desordenada, pero aquí va. Sé que al usar la regresión múltiple es posible encontrar una ecuación para una línea dada en un gráfico. Vi un programa en la BBC llamado números increíbles, que involucraba a dos concursantes. Se les dieron 6 números aleatorios, siendo cuatro más de 9 y dos menos de 10, y se les dio un número objetivo elegido al azar que resultó ser 259 en este caso. El objetivo era usar matemática elemental, incluyendo factorial y paréntesis, como (3 + 4) para obtener una cantidad lo más cercana posible al número aleatorio Ie 259. Puedo programar bastante bien, pero no puedo concebir cómo podría ser esto se acercó usando un programa de computadora. ¿Existe una técnica matemática que podría funcionar?

Gracias,

Steven