¡Sí, por supuesto! En paralelo directo con la Ley de Coulomb y la Ley de Gauss, con un ligero aumento en la complejidad podemos obtener la Ley de Biot-Savart de la Ley de Ampere.
Estamos tratando con magnetostática aquí, por lo que la Ley de Ampere simplemente lee
[math] \ nabla \ times \ mathbf {B} = \ mu_ {0} \ mathbf {J} [/ math]
- ¿Existe una relación entre las ondas de materia de la mecánica cuántica básica y las ondas electromagnéticas que describen la materia debido a la dualidad de onda de partículas?
- ¿Qué significa esta afirmación: "Orbital representa la orientación que adopta una subshell bajo la influencia de un campo magnético externo"?
- ¿Por qué se usa el filtro de interferencia electromagnética en SMPS?
- ¿Por qué las ondas difractan en el electromagnetismo?
- ¿Cómo se induce un voltaje en un cable cuando pasa a través de un campo magnético?
Sabemos que el potencial vectorial está relacionado con el campo magnético por [math] \ mathbf {B} = \ nabla \ times \ mathbf {A} [/ math]. Sustituyendo esto y usando una famosa identidad de cálculo vectorial, obtenemos
[math] \ nabla \ left (\ nabla \ cdot \ mathbf {A} \ right) – \ nabla ^ {2} \ mathbf {A} = \ mu_ {0} \ mathbf {J} [/ math]
Ahora, usemos la libertad de indicador asociada con los potenciales, y elija el indicador de Coulomb, es decir, [math] \ nabla \ cdot \ mathbf {A} = 0 [/ math]. Terminamos con
[matemáticas] \ nabla ^ {2} \ mathbf {A} = – \ mu_ {0} \ mathbf {J} [/ matemáticas]
Esto es idéntico a la ecuación de Laplace en electrostática (dar o tomar un signo). Esto significa que la solución para [math] \ mathbf {A} [/ math] es la misma que la solución para el potencial electrostático dada alguna distribución de densidad de carga. Esto implica que
[math] \ mathbf {A} (\ mathbf {r}) = – \ frac {\ mu_ {0}} {4 \ pi} \ iiint \ frac {\ mathbf {J} (\ mathbf {r} ‘)} {| \ mathbf {r} – \ mathbf {r} ‘|} \, d \ mathbf {r}’ [/ math]
Para obtener el campo magnético, tomamos el rizo en ambos lados. Tenga en cuenta que el rizo es con respecto a r, no r ‘! El resultado final de todo esto (necesitará otra identidad aquí) es:
[math] \ mathbf {B} = \ frac {\ mu_ {0}} {4 \ pi} \ iiint \ mathbf {J} (\ mathbf {r} ‘) \ times \ frac {\ mathbf {r} – \ mathbf {r} ‘} {| \ mathbf {r} – \ mathbf {r}’ | ^ {3}} \, d \ mathbf {r} ‘[/ math]
que es la ley de Biot-Savart.
