La derivada del tiempo material (MTD), también conocida como derivada del tiempo total, encuentra su aplicación en la Mecánica de Continuum. Una breve introducción sobre la descripción cinemática del cuerpo debe explicarse para completar. Puede omitir la parte inicial (PARTE 1) de la respuesta si ya conoce la cinemática de los cuerpos deformables. La PARTE 2 y la PARTE 3 abordan esta pregunta.
PARTE 1
En la configuración de Mecánica continua, las dos configuraciones del cuerpo deformable son. la configuración de referencia ([math] \ kappa_0 [/ math]) y la configuración actual ([math] \ kappa_t [/ math]) son los estados ocupados por el cuerpo en el momento [math] t = 0 [/ math] y [ matemáticas] t = t [/ matemáticas]. El cuerpo en la configuración de referencia en el tiempo [matemática] t = 0 [/ matemática] se construye (teóricamente) por “Puntos materiales” denotados por [matemática] X [/ matemática]. Cuando el cuerpo se somete a deformación, un punto material típico [matemática] X [/ matemática] en [matemática] \ kappa_0 [/ matemática] se mueve a una posición [matemática] x [/ matemática] en [matemática] \ kappa_t [/ matemáticas]. Una función matemática que representa el movimiento, que relaciona las dos configuraciones, se denomina función de movimiento [matemática] \ chi [/ matemática]. Entonces, la función [matemáticas] \ chi [/ matemáticas] toma en los argumentos [matemáticas] X [/ matemáticas] y [matemáticas] t [/ matemáticas] para dar la posición actual [matemáticas] x [/ matemáticas] en [matemáticas] \ kappa_t [/ matemáticas]. Matemáticamente, el mapa [matemáticas] \ chi [/ matemáticas] se representa como:
- ¿Dónde puedo encontrar los mejores fabricantes de círculos de aluminio?
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[matemáticas] x = \ chi (X, t) [/ matemáticas]
A continuación se muestra una representación pictórica:
La función de movimiento es invertible, es decir, una vez que se conoce la posición del punto material ocupado en el tiempo [math] t = t [/ math] en [math] \ kappa_t [/ math], la posición originalmente ocupada por el punto material en el tiempo [math] t = 0 [/ math] en [math] \ kappa_0 [/ math] podría obtenerse invirtiendo el mapa [math] \ chi [/ math]. Es decir
[matemáticas] X = \ chi ^ {- 1} (x, t) [/ matemáticas]
Para algunas deformaciones simples, la inversión de la función de movimiento [matemáticas] \ chi [/ matemáticas] podría ser fácil. Pero en una deformación genérica, la inversión de la función de movimiento no será sencilla ni fácil.
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PARTE 2
Cualquier cantidad cinemática como la velocidad o la aceleración podría parametrizarse usando puntos de material [matemática] X [/ matemática] en [matemática] \ kappa_0 [/ matemática] o utilizando posiciones espaciales [matemática] x [/ matemática] en [matemática] \ kappa_t [/ math].
La primera se llama descripción lagrangiana del movimiento, en la que, físicamente, estamos fijando el punto de partícula / material y siguiendo la partícula para registrar la velocidad de esa partícula a medida que evoluciona el tiempo. Por otro lado, esta última se llama la descripción euleriana del movimiento, en la que observamos una posición espacial fija y mantenemos el rastro de las partículas materiales que entran y salen de la posición.
Tanto la descripción lagrangiana como la descripción euleriana para un punto material fijo se acordarán mutuamente cuando se evalúen al mismo tiempo. Es decir,
[matemáticas] V (X, t) = v (x, t) [/ matemáticas]
El LHS de la relación anterior es la velocidad lagrangiana y el RHS es la velocidad euleriana. Observe que las funciones [matemáticas] V [/ matemáticas] y [matemáticas] v [/ matemáticas] son funciones diferentes entre sí. La igualdad se establece cuando la velocidad [matemática] V [/ matemática] se parametriza por el punto material [matemática] X [/ matemática] en la configuración de referencia, que es la que estamos fijando (mirando), solo el tiempo de evolución [matemática ] t [/ matemáticas]. El punto espacial [matemático] x [/ matemático], que será ocupado por el punto material [matemático] X [/ matemático] después del mismo tiempo [matemático] t [/ matemático] es la función en el LHS, que será lo mismo (numéricamente) que el RHS, ya que estamos hablando de la partícula material [matemática] X [/ matemática] y su posición [matemática] x [/ matemática].
Ahora que se entiende la igualdad y nos damos cuenta del hecho de que las funciones pueden no ser fáciles de invertir, estamos interesados en evaluar las tasas (derivadas del tiempo) de las funciones sin invertir el mapa (la función en sí) . Esto se convierte en la aplicación de la derivada del tiempo material.
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PARTE 3
Supongamos que tenemos una cantidad euleriana [matemática] v (x, t) [/ matemática]. Deseamos diferenciar la velocidad de Eulerian con respecto al tiempo y obtener la aceleración [matemáticas] a (x, t) [/ matemáticas].
Tenga en cuenta que cuando trabajamos con una cantidad euleriana como la velocidad euleriana [matemática] v (x, t) [/ matemática] como se muestra arriba, tiene una dependencia explícita del tiempo [matemática] t [/ matemática], así como implícita dependencia del tiempo [matemática] t [/ matemática].
La dependencia implícita se debe a que el argumento [matemáticas] x [/ matemáticas] en [matemáticas] v [/ matemáticas] no es más que [matemáticas] x = \ chi (X, t) [/ matemáticas]. Vemos que la posición [matemática] x [/ matemática] en sí misma es una función de [matemática] t [/ matemática]. Esto debe realizarse mientras se toma la derivada de las cantidades de Eulerian, como la velocidad [matemáticas] v (x, t) [/ matemáticas], en este caso. Por lo tanto, mediante el uso de la regla de la cadena para tomar la derivada de una función de función, podemos mostrar lo siguiente:
[matemáticas] \ frac {Dv (x, t)} {Dt} = \ frac {\ partial v (x, t)} {\ partial t} | _ {X = fijo} + \ frac {\ partial v (x , t)} {\ partial x} \ frac {\ partial \ chi} {\ partial t} [/ math].
Nos damos cuenta de que el primer término en el RHS es puramente la derivada temporal, conservando el punto material [matemático] X [/ matemático] fijo. La segunda parte del RHS muestra la dependencia espacial, debido al cambio en la velocidad mientras el punto material [matemático] X [/ matemático] se mueve a través del espacio. Este término se conoce como derivado convectado / advectado.
Además, tenga en cuenta el hecho de que [math] \ frac {\ partial \ chi} {\ partial t} [/ math] no es más que la velocidad [math] v (x, t) [/ math] (derivada de tiempo del movimiento función) y [matemática] \ frac {\ parcial v (x, t)} {\ parcial x} [/ matemática] es el gradiente espacial de la velocidad [matemática] v (x, t) [/ matemática].
La ecuación anterior podría reescribirse como:
[matemáticas] a (x, t) = \ frac {\ partial v (x, t)} {\ partial t} | _ {X = fijo} + \ nabla_x (v (x, t)) v (x, t )[/matemáticas].
Entonces, sin invertir la velocidad euleriana en velocidad lagrangiana para tomar la derivada del tiempo, y luego volver a convertirla en aceleración euleriana después de la diferenciación, uno puede tomar la derivada mientras está en el marco euleriano a través de la derivada del tiempo material, una vez claro con el concepto. Esto se aplica a cualquier cantidad cinemática, no solo a la velocidad.
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