De la columna “Cómo lo hizo Euler” de Ed Sandifer de septiembre de 2007:
Euler [Leonhard Euler 1707-1783] nos dio dos objetos matemáticos ahora conocidos como “gamma”. Uno es una función y el otro es una constante. La función, Gamma (x), generaliza la secuencia de números factoriales, y es el tema de la columna de este mes. Una buena historia de la función gamma se encuentra en un artículo de 1959 de Philip Davis [Davis; ver referencia abajo]
Cuando Euler llegó a San Petersburgo en 1728, Daniel Bernoulli y Christian Goldbach ya estaban trabajando en problemas en la “interpolación de secuencias”. Su problema era encontrar una fórmula que “expresara naturalmente” una secuencia de números. Por ejemplo, la fórmula n ^ 2 “expresa naturalmente” la secuencia de números cuadrados, 1, 4, 9, 16, …, yn ( n +1) / 2 expresa la secuencia de números triangulares, 1, 3, 6, 10, 15, … Ambos están bien definidos para valores fraccionarios de n , por lo que se dice que interpolan las secuencias.
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Los matemáticos anteriores, incluidos Thomas Harriot e Isaac Newton, habían desarrollado un extenso cálculo de diferencias finitas para ayudar a encontrar fórmulas que coincidieran con varias secuencias de valores, y su trabajo ayudó a conducir a la invención del cálculo. De hecho, una forma de entender el descubrimiento de los logaritmos es que resultaron de la interpolación de series geométricas.
Bernoulli y Goldbach estaban perplejos tratando de interpolar dos secuencias particulares. La primera fue la secuencia que ahora llamamos números factoriales, 1, 2, 6, 24, 120, 720, etc. La llamaron la “progresión hipergeométrica”. La segunda fue la secuencia de sumas parciales de la serie armónica, 1, , etc.
Poco después de enterarse de los problemas, Euler los resolvió a ambos. Este mes estamos interesados en su solución de la primera, en la que nos mostró cómo dar significado a expresiones como, como una interpolación natural entre 2. = 2 y 3! = 6.
…
[Davis] Davis, PJ, Integral de Leonhard Euler: un perfil histórico de la función gamma, The American Mathematical Monthly , vol. 66, núm. 10 (diciembre de 1959), págs. 849-869.
La columna completa solía estar archivada en la Mathematical Association of America, pero volvieron a hacer su sitio el año pasado y el enlace no funciona. La columna original probablemente se puede encontrar en la máquina Way-Back. Además, el segundo volumen de las columnas de Ed será publicado más adelante este año por el MAA.
