¿Pueden tres planetas compartir una órbita mientras giran alrededor de una estrella?

Depende de la situación. Podrías tener tres planetas del mismo tamaño, o un planeta grande y dos mucho más pequeños.
Para tres planetas iguales, tendrían que estar perfectamente espaciados y tener masas perfectas para que el sistema permanezca estable, y las posibilidades de que eso ocurra son increíblemente diminutas. Además, cualquier tipo de fuerzas gravitacionales adicionales, como las de lunas u otros planetas, eventualmente desestabilizaría el sistema de tres planetas.
Ahora, si tienes un planeta suficientemente masivo y dos mucho más pequeños, podrías hacer que los dos planetas pequeños terminen en los puntos de Lagrange del planeta más grande.
Los puntos de Lagrange son puntos en un sistema de tres cuerpos donde las fuerzas gravitacionales de los dos cuerpos más grandes tiran del más pequeño en una órbita estable. Busque “Asteroides troyanos” para tener una mejor idea de esto.
Esencialmente, la gravedad del planeta más grande mantendría a los dos planetas más pequeños en la misma órbita y a la misma distancia.