El espacio-tiempo curvo solo explica cómo los cuerpos en movimiento cerca de un objeto masivo seguirán un camino curvo. ¿Cómo explica los objetos en reposo, que cuando se liberan se sienten atraídos?

Un objeto que se había celebrado y que se libera de repente en un momento determinado (tal como t = 0) es exactamente la misma situación que otro objeto que había sido arrojado en el aire que pasa a llegar a su altura máxima en t = 0 . Entonces, si entendió cómo el espacio-tiempo curvo puede hacer que un objeto que se arroja hacia arriba en un campo de gravedad (de espacio-tiempo curvo) se detenga momentáneamente en la parte superior y luego comience a caerse nuevamente, entonces exactamente lo mismo le sucede al objeto que está siendo retenido y luego liberado en la misma posición y tiempo.

El Schwarzchild métrica describe espacio-tiempo curvo para un campo esféricamente simétrica “gravedad” de un objeto masivo de la masa [matemáticas] M [/ math]:

[Matemáticas] ds ^ 2 = (1 – \ frac {2GM} {rc ^ 2}) c ^ 2 dt ^ 2 [/ matemáticas]

[Matemáticas] \ \ \ \ \ \ -. (1- \ frac {2GM} {rc ^ 2}) ^ {- 1} dr ^ 2 – r ^ 2 d \ Omega ^ 2 [/ matemáticas]

donde [matemáticas] t [/ math] es el tiempo, [matemáticas] r [/ math] es la distancia radial, [matemáticas] c [/ math] es la velocidad de [matemáticas] ds luz y [/ matemáticas] es la 4 dimensional medición de distancia espacio-tiempo. (Para el movimiento que es sólo en las direcciones radiales, la parte angular de esta métrica d, [matemáticas] \ Omega [/ math], puede ser considerado para ser idénticamente 0 y será ignorado aquí.)

La ruta geodésica en el espacio-tiempo curvo es la ruta que minimiza [math] ds [/ math]. Así que si el objeto está momentáneamente estacionario, a continuación, [matemáticas] dr \ aprox 0 [/ math] y por lo tanto [matemáticas] ds [/ matemáticas] es proporcional a [matemáticas] dt [/ matemáticas]. Por lo tanto, para minimizar [math] ds [/ math] se debe minimizar la constante de proporcionalidad. Pero ese coeficiente es más pequeño si [math] r [/ math] es más pequeño. Es por ello que el objeto comienza a moverse en la dirección radial hacia más pequeño r [matemáticas] [/ math] – porque minimiza los 4 dimensional distancia espacio tiempo [matemáticas] ds [/ matemáticas].

Tenga en cuenta que el mayor efecto causado por el espacio-tiempo curvo es en realidad la curvatura en la dirección del tiempo que es función de la posición. Para ver esto, considere velocidades, [matemáticas] v [/ matemáticas], mucho menor que la velocidad de la luz ([matemáticas] v \ ll c [/ matemáticas] y ajuste [matemáticas] v \ dt = dr) [/ matemáticas] , y en el límite débil campo ([matemáticas] \ frac {} {2GM rc ^ 2} \ ll 1 [/ matemáticas]) la expresión se convierte en:

[matemáticas] ds ^ 2 \ aprox (1 – \ frac {2GM} {rc ^ 2}) c ^ 2 dt ^ 2 – (1 + \ frac {2GM} {rc ^ 2}) v ^ 2 dt ^ 2 [ /matemáticas]

Entonces, el efecto de la curvatura en la dirección radial (el segundo término en esta ecuación) será suprimido por un factor de [matemática] v / c \ ll 1 [/ matemática] en comparación con la curvatura en la dirección del tiempo (el primer término en esta ecuación). Ignorando [matemáticas] v ^ 2 [/ matemáticas] en comparación con [matemáticas] c ^ 2 [/ matemáticas] obtenemos:

[Matemáticas] ds ^ 2 \ aprox (1 – \ frac {2GM} {rc ^ 2}) c ^ 2 dt ^ 2 [/ matemáticas]

Así, la curvatura en la dirección del tiempo es la influencia dominante para determinar la trayectoria geodésica para el movimiento no relativista en un campo gravitacional débil.

PD: La película en los detalles de la pregunta que usa la analogía de la lámina de goma curvada es realmente engañosa: no muestra nada sobre la curvatura en la dirección del tiempo, que es la curvatura más importante. También usa la gravedad de la tierra como parte de la explicación de la gravitación, ¡así que no es una gran explicación!

Ninguna de estas respuestas es satisfactoria. Es el experimento mental lo que es valioso cuando se habla de dos objetos en reposo. Si solo ejecuta las ecuaciones de atracción gravitacional entre dos masas sin nada más en su “universo”, se predice que se moverán una hacia la otra. La pregunta es … ¿qué es ACERCA del espacio curvado / deformado que causa una atracción en primer lugar? Y si tengo que ver otra bola de boliche en un “experimento” de trampolín, tendré una convulsión. Está tratando de explicar la gravedad usando la gravedad. (Es tautología) Las pelotas de golf ruedan cuesta abajo … porque … la gravedad las empuja cuesta abajo. Me gustaría ver el experimento en el que dos bolas de bolos se colocan decenas de metros de distancia en una cama elástica grande maldad y tener a alguien explicar cómo su muy leve formación de hoyuelos en los resultados del espacio-tiempo en una fuerza de atracción entre los dos objetos.

Bueno, en esta analogía, tu objeto no necesita moverse. Si pones una pequeña bola en la pantalla, todavía caerá al objeto de masa relativamente más grande. No necesita estar en movimiento para que esto suceda, ni tampoco hay mucha diferencia entre los objetos móviles y los objetos en reposo (recuerda Newton)?

El único problema que veo con esta analogía es que ahora debes preguntarte: ¿qué causa que los objetos sean arrastrados hacia abajo por la pantalla?

Actualmente, no hay nada como el objeto en reposo. Todo esta en movimiento. La tendencia natural de un objeto, según la teoría de la relatividad, está en movimiento y no en reposo (como explica Galileo).