La expansión del universo se describe mediante la métrica FLRW:
[matemáticas] ds ^ 2 = c ^ 2dt ^ 2-a ^ 2 (t) (dx ^ 2 + dy ^ 2 + dz ^ 2) [/ matemáticas], donde [matemáticas] a (t) [/ matemáticas] es una función llamada factor de escala
En un universo intrínsecamente plano, las ecuaciones de Friedmann que rigen la dinámica de [matemáticas] a (t) [/ matemáticas] son:
[matemática] \ izquierda (\ frac {H} {H_0} \ derecha) ^ 2 [/ matemática] [matemática] = \ frac {\ Omega_R} {a ^ 4} + \ frac {\ Omega_M} {a ^ 3} + \ Omega _ {\ Lambda} [/ math].
Donde [math] H = \ frac {\ dot {a}} {a} [/ math] ([math] \ dot {a} [/ math] es la derivada de tiempo de [math] a [/ math]), [math] H_0 [/ math] es el valor inicial de [math] H [/ math], y [math] \ Omega [/ math] es el parámetro de densidad del tipo de energía dado ([math] R [/ math ] para radiación, [matemática] M [/ matemática] para materia, tanto normal como oscura, y [matemática] \ Lambda [/ matemática] para energía oscura). El parámetro de densidad se calcula tomando la relación de la densidad de energía [matemática] \ rho [/ matemática] de un tipo dado de energía a la densidad crítica del universo de Friedmann:
[matemáticas] \ Omega = \ frac {8 \ pi G \ rho} {3H_0 ^ 2} [/ matemáticas].
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Las ecuaciones generalmente toman [matemática] t = 0 [/ matemática] como la hora actual y establecemos [matemática] a (0) = 1 [/ matemática], y los parámetros de densidad utilizados en la ecuación diferencial anterior son los parámetros de densidad del universo actual. Los valores de los parámetros de densidad en la actualidad son:
[matemáticas] \ Omega_R = 8.24 * 10 ^ {- 5} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ Omega_M = 0.27 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ Omega _ {\ Lambda} = 0.73 [/ matemáticas]
Ahora hablemos de la aceleración de la expansión del universo. La aceleración de la expansión del universo, que es solo [math] \ ddot {a} [/ math]. Si toma la derivada de tiempo de la ecuación anterior y la simplifica, encontrará que [matemáticas] \ ddot {a} = H_0 ^ 2 (- \ frac {\ Omega_R} {a ^ 4} – \ frac {\ Omega_M} { 2a ^ 3} + \ Omega _ {\ Lambda}) [/ math].
Establecimos [math] t = 0 [/ math] para que sea el tiempo presente y establecemos [math] a (0) = 1 [/ math]. En épocas anteriores, [matemáticas] a (t) [/ matemáticas] es menor que [matemáticas] 1 [/ matemáticas]. Al observar la expresión de la aceleración de la expansión, vemos que esto implica que los parámetros de materia y energía son cada vez más dominantes. Antes de hace unos 5 mil millones de años, el factor de escala era lo suficientemente pequeño como para que las contribuciones negativas a la aceleración de la expansión causadas por la materia y la radiación superaran la contribución positiva de la energía oscura, por lo que la aceleración fue negativa (sin embargo, tenga en cuenta que la velocidad de la expansión [matemáticas ] \ dot {a} [/ math] seguía siendo positivo). Sin embargo, a medida que el universo se expandió y [matemáticas] a (t) [/ matemáticas] se hizo más grande, las contribuciones negativas se hicieron cada vez más pequeñas hasta que la contribución positiva de la energía oscura fue mayor que las contribuciones negativas de la materia y la radiación. En este momento, hace unos 5 mil millones de años, la aceleración de la expansión del universo se volvió positiva.
Esta aceleración positiva significa que los objetos distantes retrocederán unos de otros a velocidades más grandes con el tiempo, pasando eventualmente más allá de los horizontes observables de los demás.
