Es una larga historia para explicar la definición rigurosa utilizando un marco teórico ergódico, por lo que en su lugar, tomaría un enfoque ligeramente diferente, que con suerte le dará una mejor intuición sobre las cosas.
Primero, recordemos qué es un proceso estacionario: un proceso estocástico se llama (estrictamente) estacionario, si todas sus distribuciones dimensionales finitas no cambian con el tiempo. Es decir, [matemática] \ {X (t) \} _ {t \ en R} [/ matemática] se llama estacionaria, si para todo [matemática] n = 1,2, …, t_1, …, t_n \ in R [/ matemática] y [matemática] s \ en R [/ matemática], [matemática] (X (t_1),…, X (t_n)) \ stackrel {d} {=} (X (t_1 + s), …, X (t_n + s)) [/ math], donde “[math] \ stackrel {d} {=} [/ math]” significa tener la misma distribución.
Como resultado, trivialmente, sabemos que cualquier proceso constante [math] \ {X (t) = c \} _ {t \ in R} [/ math] es un proceso estacionario. Un poco más complicado, tenemos una función seno, comenzando desde un punto uniformemente distribuido en un período: [matemáticas] \ {Y (t) = \ sin (U + t) + b \} _ {t \ en R} [/ matemática], donde [matemática] U [/ matemática] sigue una distribución uniforme en [matemática] [0,2 \ pi] [/ matemática] y [matemática] b \ en R [/ matemática] es una constante, es una estacionaria proceso.
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Además, nos damos cuenta de que los procesos [matemáticas] \ {X (t) \} _ {t \ en R} [/ matemáticas] y [matemáticas] \ {Y (t) \} _ {t \ en R} [/ matemáticas] ambos tienen una buena propiedad: si queremos conocer su “comportamiento promedio”, solo necesitamos seguir un camino durante mucho tiempo. Por ejemplo, sabemos [matemática] E (Y (t)) = b [/ matemática] para cualquier [matemática] t [/ matemática] dada. Por otro lado, si solo rastreamos el valor de [math] Y (t) [/ math] desde el tiempo 0 a un tiempo muy grande, y tomamos el promedio, también obtenemos [math] b [/ math] . Es decir:
[matemáticas] \ lim_ {T \ to \ infty} \ frac {1} {T} \ int_0 ^ TY (t) dt = b. [/ matemáticas]
Como puede ver, el promedio en diferentes realizaciones es el mismo que el promedio en el tiempo para una realización.
Sin embargo, imagine que ahora tenemos un nuevo proceso [math] \ {Z (t) \} _ {t \ in R} [/ math]. [matemática] Z [/ matemática] es en realidad una mezcla de [matemática] X [/ matemática] y [matemática] Y [/ matemática]: con probabilidad [matemática] p [/ matemática] es [matemática] X [/ matemática ], con probabilidad [matemática] 1-p [/ matemática] es [matemática] Y [/ matemática], y la elección de [matemática] X [/ matemática] o [matemática] Y [/ matemática] no tiene influencia en sus distribuciones Por lo tanto, con probabilidad [matemática] p [/ matemática], [matemática] Z [/ matemática] es una constante [matemática] c [/ matemática]; con probabilidad [matemática] 1-p [/ matemática], [matemática] Z [/ matemática] es una onda sinusoidal aleatoria con período [matemática] 2 \ pi [/ matemática] y valor medio [matemática] b [/ matemática]. Puede verificar que si combina dos procesos estacionarios, aún obtiene un proceso estacionario, por lo que [math] Z [/ math] es un proceso estacionario.
Sin embargo, ¿tiene [math] Z [/ math] la propiedad de que su comportamiento promedio es el mismo que el que tenemos siguiendo una ruta? No. Por ejemplo, [matemáticas] E (Z (t)) = pc + (1-p) b [/ matemáticas]. Sin embargo, si solo seguimos una realización, es una constante [matemática] c [/ matemática] o una función seno con media [matemática] b [/ matemática], por lo que el promedio a lo largo de una ruta es [matemática] c [/ math] o [math] b [/ math], que no es lo mismo que [math] pc + (1-p) b [/ math].
Si preguntamos por qué [matemática] Z [/ matemática] ya no tiene esta propiedad, entonces la respuesta es bastante obvia por su construcción: [matemática] Z [/ matemática] puede descomponerse como la mezcla de dos procesos estacionarios, con diferentes distribuciones , por lo tanto, también diferentes realizaciones típicas. Por otro lado, si intenta descomponer [matemática] X [/ matemática] o [matemática] Y [/ matemática] de la misma manera, encontrará que no puede hacerlo, ya son las estacionarias “más simples” procesos, y no puede descomponerse en dos partes diferentes.
Llamamos procesos [matemática] X [/ matemática] y [matemática] Y [/ matemática] procesos estacionarios ergódicos, mientras que [matemática] Z [/ matemática] es un proceso estacionario pero no es ergódico. La propiedad de que el comportamiento promedio de un proceso en un tiempo fijo es el mismo que rastreamos una realización durante mucho tiempo se llama “propiedad ergódica”.
En resumen, un proceso estacionario ergódico es un proceso estacionario que no puede descomponerse más en la mezcla de dos procesos estacionarios diferentes.
