¿Hay un número infinito de superposiciones para un electrón en un átomo de hidrógeno?

A partir de los detalles de la pregunta, parece que estás preguntando si el electrón en un átomo de hidrógeno se puede encontrar en un número infinito de ubicaciones posibles. Suponiendo que esto es lo que quisiste decir, superposición no es el término correcto para usar en este contexto.

Cuando hablamos de “posibles ubicaciones” para una partícula en el contexto de la mecánica cuántica, nos referimos a puntos en el espacio donde la densidad de probabilidad [matemáticas] | \ psi (\ vec {r}) | ^ 2 = \ langle \ psi (\ vec {r}) | \ psi (\ vec {r}) \ rangle [/ math] no es cero, lo que significa que hay alguna probabilidad finita de encontrar la partícula en el punto [math] \ vec {r} [/ math] . Podemos resolver la ecuación de Schrodinger para el potencial de Coulomb, y encontramos soluciones de la forma [matemáticas] \ psi_ {n \ ell m} (r, \ theta, \ phi) = R_ {n \ ell} (r) Y_ \ ell ^ m (\ theta, \ phi), [/ math] indexado por 3 números cuánticos [math] n, \ ell, [/ math] y [math] m [/ math]. Las funciones [matemáticas] R_ {n \ ell} (r) [/ matemáticas] y [matemáticas] Y_ \ ell ^ n (\ theta, \ phi) [/ matemáticas] son ​​funciones especiales con propiedades bien estudiadas [1] [ 2]

Resulta que hay lugares donde la función de onda de hidrógeno va a cero, lo que significa que el electrón nunca se encontrará allí. Por ejemplo, para todos los estados con [math] \ ell \ neq0 [/ math], hay cero probabilidad de encontrar el electrón en el origen ([math] r = 0, [/ math] ” en el núcleo”). Esto tiene sentido físicamente si sabemos que el número cuántico [math] \ ell [/ math] está relacionado con el momento angular orbital del electrón.

Entonces, hay puntos en el espacio donde el electrón en un estado de energía de hidrógeno dado nunca se puede encontrar. Sin embargo, la pregunta pregunta si hay un número infinito de puntos donde se puede encontrar el electrón. La respuesta a eso es, por supuesto, sí . Esto se debe a que la posición es una cantidad continua (en lugar de discreta).

Para aclarar su terminología, el término superposición se refiere a un sistema que se encuentra en un estado que es una combinación lineal de otros estados (típicamente estados propios de algún operador hermitiano). Por ejemplo, dados los primeros tres estados propios de energía del átomo de hidrógeno con momento angular orbital cero, [math] | \ psi_ {100} \ rangle [/ math], [math] | \ psi_ {200} \ rangle [/ math] , y [math] | \ psi_ {300} \ rangle, [/ math] podemos construir un nuevo estado [math] | \ psi \ rangle [/ math] que es una superposición (es decir, una combinación lineal) de los estados propios:

[matemáticas] | \ psi \ rangle = c_1 | \ psi_ {100} \ rangle + c_2 | \ psi_ {200} \ rangle + c_3 | \ psi_ {300} \ rangle [/ math],

donde [matemática] c_1 [/ matemática], [matemática] c_2 [/ matemática] y [matemática] c_3 [/ matemática] son ​​números complejos que satisfacen [matemática] | c_1 | ^ 2 + | c_2 | ^ 2 + | c_3 | ^ 2 = 1 [/ matemáticas].

Notas al pie

[1] Polinomios de Laguerre – Wikipedia

[2] Armónicos esféricos – Wikipedia