Cuando decimos que el cuerpo se ha escapado del campo gravitacional de la tierra, se ha ido a una distancia infinita desde el centro de la tierra y en el infinito es (cinética + potencial) energía = 0. Ahora, el campo gravitacional es conservador, lo que sugiere que en el punto de proyección también la energía del cuerpo (cinética + potencial) debe hacerse cero dándole energía cinética (1/2) m’v ^ 2. Esta velocidad dada al cuerpo se llama velocidad de escape. Supongamos que el cuerpo se proyecta desde la distancia r (r <R) desde el centro de la tierra. Ahora, debemos encontrar la energía potencial en r = r. Primero encontraremos potencial. El potencial se define como el negativo del trabajo realizado en la unidad de masa por el campo al llevar la unidad de masa del punto de referencia al punto dado. En el presente problema, la elección obvia del punto de referencia está a una distancia infinita. De esta manera podemos mostrar que el potencial en la superficie de la tierra es (-GM / R). Para encontrar el potencial en r tenemos que agregar este negativo del trabajo sobre la unidad de masa por el campo al llevar la unidad de masa de R a r. Primero, encontremos la fuerza por unidad de masa que es el campo en algún punto variable, digamos r '(r' <R). El campo en este punto se debe a la masa confinada en la esfera de radio r '. Si d es la densidad promedio del material de la Tierra, entonces la masa de la esfera de radio r 'es m' = (4/3) pir '^ 3d. Entonces el campo en r 'es Gm' / r '^ 2. = G (4/3) pir' ^ 3 (M / 4 / 3piR ^ 3 = -GMr '/ R ^ 3. Ahora tenemos que calcular el negativo de trabaje en la unidad de masa para llevarla de R a r por el campo -GMr '/ R ^ 3. Esto es negativo de la integral de R a r de -GMr' / R ^ 3. El valor de esta cantidad es (GM / 2R ^ 3) [r ^ 2-R ^ 2]. Por lo tanto, el potencial en r es = (- GM / R) + (GMr ^ 2 / 2R ^ 3) – (GM / 2R) = – (3GM / 2R) + (GM / 2R ^ 3) r ^ 2. Si v es la velocidad de escape de la masa m, entonces
(1/2) mv ^ 2 + (GMM / 2R ^ 3) r ^ 2- (3GMm / 2R) = 0. Cancelando my haciendo v el sujeto, obtenemos
v = sqrt de [GM / R {3- (r / R) ^ 2}]. Esta es la velocidad de escape para la proyección desde r.
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