Me limitaré a dos temas en los que tengo algo de experiencia, y cubiertos por conferencias invitadas en el recientemente concluido Congreso Internacional de Matemáticos.
La primera es la teoría de Ramsey en el contexto de la aleatoriedad . La instancia más simple del teorema de Ramsey se enseña en la mayoría de los cursos introductorios de matemática discreta: en cualquier grupo de seis o más personas, hay tres amigos mutuos o tres desconocidos mutuos. De hecho, cualquier color 2 de los bordes del gráfico completo [matemática] K_n [/ matemática] en los vértices [matemática] n [/ matemática] debe inducir una subgrafía completa monocromática de tamaño logarítmico. Pero, ¿qué sucede si reemplazamos la gráfica completa [matemática] K_n [/ matemática] con la gráfica aleatoria [matemática] G_ {n, p} [/ matemática] donde cada borde ocurre independientemente con probabilidad [matemática] p [/ matemática]?
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El segundo son los juegos posicionales . Cada niño inteligente finalmente se da cuenta de que el tic-tac-toe es un empate con un juego perfecto. Pero eso es solo [matemáticas] 3 \ veces 3 [/ matemáticas] tic-tac-toe. ¿Qué pasa con el tridimensional [matemáticas] 4 \ veces 4 \ veces 4 [/ matemáticas] tic-tac-toe? Resulta que el primer jugador tiene una estrategia ganadora para este juego, pero no es nada sencillo. (Parker Brothers comercializó este juego como Qubic en el pasado). ¿Qué pasa con [matemáticas] 5 \ veces 5 \ veces 5 [/ matemáticas] tic-tac-toe? Nadie lo sabe. Es fácil demostrar que el segundo jugador no puede ganar. Pero si es una victoria para el primer jugador o un empate con un juego perfecto es un problema abierto.
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