Si dos naves espaciales tuvieran la misma órbita en direcciones opuestas alrededor de un agujero negro, y cada una mirara un reloj en la otra nave espacial, ¿qué verían?

La respuesta corta es que no envejecerían entre sí. Sus relojes parecerían funcionar normalmente, al menos cuando se registraban entre ellos cada vez que cruzaban.

La respuesta más larga es que está hablando de dos cosas diferentes que suceden simultáneamente: dilatación gravitacional del tiempo (GR) y dilatación del tiempo debido a la velocidad (SR). Pero dado que las dos naves están haciendo caminos similares, la parte SR se cancela y también lo hace el GR, ya que están en la misma órbita.

Ahora, si las dos naves orbitaran a diferentes altitudes, o una orbitara mientras que otra estuviera relativamente quieta, muy lejos, tendría una ecuación más complicada en sus manos.

Este sería un marco de referencia inercial. Dado que ambos no están acelerando, uno respecto al otro, y ambos están igualmente distantes del agujero negro, no habría diferencia con respecto a los relojes en cada lanzadera.

Sin embargo, desde la perspectiva de los observadores externos, suponiendo que estén en el vacío del espacio, ambas naves estarían acelerando y, en relación con el observador, tendrían una fuerza de gravedad más fuerte, las cuales dilatarían el tiempo, por lo que para este observador el los relojes en ambas naves se moverían a la misma velocidad lenta, pero el reloj de los observadores se movería perceptiblemente normal. Además, si las naves pasaran el horizonte de sucesos, parecerían congeladas en relación con el observador externo.

Lo siento, expliqué un poco más de lo que pedí, pero es un tema fascinante.

La dilatación del tiempo gravitacional es diferente de la dilatación del tiempo SR. En la dilatación del tiempo gravitacional, los relojes realmente funcionan lentamente porque la alta gravedad dificulta el mecanismo por el cual los relojes miden el tiempo. A no solo verá A el reloj de B funcionando lento, sino que también verá su propio reloj funcionando lento.

Debido a que hay un movimiento relativo entre las 2 naves, se encontrarán con dilatación del tiempo SR, pero esto es una ilusión óptica porque las imágenes del reloj son transportadas por fotones que tienen una velocidad fija pero las distancias entre A y B varían todo el tiempo. Por lo tanto, el tiempo que lleva alcanzar sus ojos también varía. Esto significa que A verá que el reloj de B funciona más lento de lo que B lo ve; y viceversa.

Si la gravedad y / o la SR tienen algún efecto en el proceso de envejecimiento está abierto a debate. No se han realizado experimentos para demostrar esto de forma emperica y concluyente. Los científicos simplemente hacen experimentos mentales y los resultados son conjeturas. Todos esos cálculos prueban una sola cosa: las cosas que se presentan son ilusiones ópticas.