TL; DR: El principal libro relacionado con la teoría no relacionada con la red que recomiendo a continuación es Lectures on Phase Transitions And The Renormalization Group de Nigel Goldenfeld . Lea la respuesta completa a continuación para conocer los fundamentos de esta elección y los temas específicos que cubre el libro que creo que son útiles para el análisis de redes sociales …
Comenzaré con un descargo de responsabilidad de que el análisis de redes sociales es un campo altamente interdisciplinario que se basa en una serie de disciplinas más tradicionales. En consecuencia, la mecánica estadística no es el único campo valioso si le interesa la teoría de redes. También vale la pena hacer preguntas como: ¿Qué ideas de economía necesita alguien con experiencia en mecánica estadística para aprender a apreciar plenamente la investigación en el análisis de redes sociales? Dicho esto, yo mismo soy un mecánico estadístico que ahora pasa mucho tiempo pensando en la teoría de redes, y creo que existen vínculos íntimos entre los dos campos. También creo que la teoría de redes presenta muchos problemas que son naturalmente interesantes para las personas con experiencia en mecánica estadística.
En mi opinión, algunas de las conexiones más fuertes entre la mecánica estadística y el análisis de redes sociales, o la teoría de redes en general, surgen porque los modelos teóricos de redes pueden exhibir una variedad de transiciones de fase. Por lo tanto, muchas de las ideas y la maquinaria que se han desarrollado para estudiar las transiciones de fase en mecánica estadística son útiles para abordar la investigación teórica de redes modernas. Aquí hay algunos ejemplos específicos:
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- Teoría general de las transiciones de fase y los fenómenos críticos: Vale la pena conocer la clasificación de las transiciones de fase en transiciones de primer orden y de segundo orden (o continuas). También es una buena idea estar familiarizado con cómo las cantidades físicas y las funciones de correlación se escalan en la vecindad de una transición de fase continua. Estos fenómenos tienen paralelos en los modelos teóricos de la red y pueden ayudarlo a desarrollar la intuición sobre lo que está sucediendo en esos sistemas.
- Análisis numérico de las transiciones de fase: la investigación moderna de mecánica estadística a menudo se basa en simulaciones numéricas para sondear las transiciones de fase. Muchos de estos métodos de simulación (por ejemplo, métodos de Monte Carlo) también pueden ser útiles en la teoría de redes. Además, una vez que obtiene datos de una simulación, necesita saber cómo usar esos datos para extraer información sobre la transición de fase. Dado que, estrictamente hablando, las transiciones de fase solo ocurren en sistemas infinitamente grandes, se ha desarrollado un poderoso método llamado escalamiento de tamaño finito dentro de la mecánica estadística para hacer inferencias sobre el límite infinito de los datos para sistemas de tamaño finito.
- Percolación: una clase específica de transiciones de fase que me gustaría destacar son las transiciones de percolación. Las transiciones de percolación ocurren con frecuencia en física estadística, pero también son ubicuas en los modelos de red, incluidos los modelos relevantes para el análisis de redes sociales. Un ejemplo es la aparición de un componente gigante en el modelo de red aleatorio Erdős-Rényi. Esta transición es un ejemplo de percolación de la red subyacente: separa una fase donde una fracción finita de nodos pertenece a un solo componente a medida que la red se agranda de una fase donde los componentes son de tamaño finito (y, por lo tanto, representan una fracción de sitios que desaparece) la red se hace más grande). Incluso después de que la red subyacente se haya filtrado, puede tener más transiciones de filtración para los fenómenos que ocurren en la red. Por ejemplo, considere la filtración de la infección a través de una red en modelos epidémicos en redes.
- Física de los sistemas desordenados: esta área es muy querida por mi corazón, porque es el área en la que trabajé para mi doctorado. En la mecánica estadística de los sistemas de estado sólido, a menudo es importante considerar el papel de las imperfecciones estructurales y químicas, porque ningún material del mundo real es en realidad un cristal perfecto. No debería sorprender que esto sea relevante para los modelos de red, ya que no existe una noción de periodicidad cristalina en la mayoría de los sistemas de interés (p. Ej., Redes sociales, redes de líneas aéreas, etc.) y dado que muchos de los modelos más importantes (p. Ej. , Modelo Erdős – Rényi, modelo Watts-Strogatz) incluyen explícitamente aleatoriedad. Un efecto notable de la aleatoriedad es que, en una transición de fase entre las fases hipotéticas A y B, la aleatoriedad puede introducir grandes regiones raras de la fase B en el lado de la fase A de la transición y viceversa. Estas se llaman fases Griffiths, y su impacto en las redes ha sido explorado, por ejemplo, en la referencia [1].
- Grupo de renormalización / física a diferentes escalas: he encontrado que la perspectiva de la teoría del grupo de renormalización, en particular la forma en que te lleva a pensar en la física a diferentes escalas de longitud, es muy útil para guiar mi pensamiento sobre los modelos en la teoría de redes. Un ejemplo de esto es el argumento que doy por el efecto de mundo pequeño en el modelo Watts-Strogatz en mi respuesta a ¿Cuál es el significado del cliché “seis grados de separación”?
Para obtener una introducción sólida sobre la mayoría de lo anterior desde una perspectiva de mecánica estadística, recomiendo Lectures On Phase Transitions And The Renormalization Group por Nigel Goldenfeld [2]. Como su nombre lo indica, esto se parece más a una serie de conferencias que a un libro de texto, pero es muy “legible”.
Otra área de superposición entre la teoría de redes y la física que no he cubierto anteriormente son los métodos espectrales. En la mecánica estadística cuántica, un valor propio especial del hamiltoniano (es decir, el de menor energía, correspondiente al estado fundamental) es muy relevante para las transiciones de fase cuántica de temperatura cero. En transiciones de fase cuántica más exóticas como la transición de localización de muchos cuerpos, toda la estructura del espectro de Hamilton podría ser importante. Del mismo modo, en el lado de la teoría de la red, las propiedades espectrales de las matrices que codifican la estructura de la red (p. Ej., La matriz de adyacencia, el gráfico laplaciano y objetos más exóticos como la matriz sin retroceso de Hashimoto) revelan información importante sobre las propiedades de la red. Por ejemplo, los valores propios del gráfico laplaciano pueden revelar las propiedades de conectividad de una red [3]. A veces he encontrado mi experiencia en mecánica estadística cuántica útil para construir la intuición aquí. Sin embargo, no está claro para mí que esta intuición deba construirse desde el lado de la física para atacar problemas en el análisis de redes sociales. Supongo que puede hacer lo mismo leyendo las partes relevantes de las Redes de Mark Newman : una introducción , leyendo literatura relevante de investigación (por ejemplo, referencias [4] y [5]), y luego profundizando en su propio problema de investigación. .
Referencias
[1] M. Muñoz y col. Griffiths fases en redes complejas. Phys. Rev. Lett. 105, 128701 (2010).
[2] N. Goldenfeld. Conferencias sobre transiciones de fase y el grupo de renormalización .
[3] MEJ Newman. Redes: una introducción .
[4] F. Krzakala y col. Redención espectral: agrupamiento de redes dispersas.
PNAS 110 , 52 (2013).
[5] B. Karrer, MEJ Newman y L. Zdebrova. Percolación en redes dispersas. Phys. Rev. Lett. 113, 208702 (2014).
