¿Es posible un elevador de gravedad trans-tierra como “The Fall” en Total Recall (2012)?

No, no es posible.
Veamos brevemente los problemas enfrentados durante la gira:

1. Presión : Tendría que superar una presión ejercida por aprox. 7 sextillones ( Sextillion es un número igual a 1 seguido de 21 ceros) toneladas de roca presionando hacia adentro para perforar un túnel a través de la tierra. Para que te hagas una idea, esta presión equivale aproximadamente a 3 millones de veces la presión a nivel del mar.

2. Condiciones en el interior: el interior de la Tierra está asombrosamente caliente debido a una serie de factores que incluyen la energía cinética de los impactos formativos, las fuerzas de compresión gravitacional, la fricción interna y la desintegración radiactiva.
Inicialmente tendrá que pasar por 40–70 kms de corteza seguido de 2900 kms de manto. Después de eso, tendrías que atravesar un núcleo externo de hierro líquido del tamaño de Marte que se agita tan caliente como la superficie del sol y luego viene un núcleo interno sólido del tamaño de la luna.

3. Atracción fatal: debido al efecto Coriolis y al momento angular, tu movimiento lateral te llevará a una pared antes de que bajes terriblemente por el eje.

Para entender por qué, considere un agujero perforado en el ecuador. Ya sea que se encuentre en la superficie de la Tierra o cerca de su núcleo, completa una revolución cada 24 horas, pero no recorre la misma distancia: en la superficie, recorre 24,900 millas (40,000 kilómetros), mientras que, a medio camino del núcleo, usted viaje la mitad de esa distancia. Al caer, retendría ese movimiento de 1,000 mph (1,600 kph) hacia el este, mientras que las paredes a su alrededor se moverían a una velocidad cada vez más lenta hacia el este, lo que haría que se topara con ellas.

Para ahorrarte una erupción de roca, puedes perforar de poste a poste, donde Coriolis no tiene efecto. Sin embargo, la gravedad solar y lunar, que también perturba los satélites en órbita, eventualmente lo empujaría hacia la pared del túnel de todos modos.
[fuente: Darling, David. “El libro completo de vuelos espaciales: del Apolo 1 a la gravedad cero”. Wiley 8 de noviembre de 2002]

4. SHM: En la superficie de la tierra, la gravedad nos empuja a 9.8 metros por segundo al cuadrado.
Pero a medida que te acercas al núcleo, la aceleración se ralentiza debido al contrapeso de las masas a tu alrededor y la creciente proporción de masa por encima de tu cabeza ejerce una fuerza contraria creciente a la masa proporcionalmente decreciente debajo. En el centro del planeta, su aceleración debido a la gravedad es cero y no tiene peso. Sin embargo, todavía te estás moviendo a toda velocidad, así que no esperes detenerte allí. A mitad de camino hacia el centro, tu velocidad alcanza los 24,000 km / h; 21 minutos después de saltar, pasas el centro a 29,000 km / h. Otros 21 minutos más tarde, con la gravedad disminuyendo su velocidad a medida que avanza, llega al otro lado y se detiene brevemente en el aire. A menos que alguien te atrape, volverás por donde viniste y comenzarás de nuevo. En nuestro caso idealizado, esto continuará indefinidamente, como un péndulo o un resorte, en un proceso llamado movimiento armónico .

Por lo tanto, un ascensor que lo llevaría de un polo de la tierra a otro en 42 minutos solo es posible en el mundo virtual.
En la película, han cometido otro error al mostrar que solo lleva 17 minutos atravesar el túnel. Deberían haber tenido al menos el momento adecuado.

El hoyo más profundo jamás excavado, el Kola Superdeep Borehole en Rusia, alcanzó los 40,230 pies (12,262 metros), solo una fracción del camino a través de la corteza, antes de sucumbir a las altas temperaturas.

Desde una perspectiva puramente física, la caída es altamente improbable. No es imposible per se, pero ciertamente es extremadamente difícil de construir y mantener, al menos con la tecnología actual. vea Spoiler Alert: El hoyo de 8,000 millas en ‘Total Recall’ de algunos detalles de un geofísico, así como ¿Cuál es la razón científica detrás de la inversión de la gravedad durante ‘la caída’ en Total Recall (2012)?

Si “La caída” pasa por el centro de la Tierra, entonces es posible ya que la partícula realiza un movimiento armónico simple en ese caso. (corrígeme si me equivoco, recuerdo esto de mis días de escuela secundaria)

No creo que sea posible. Podríamos desarrollar dicha tecnología, pero es imposible encontrar ese material que pueda sobrevivir en el núcleo de la tierra.
Aquí hay una discusión interesante: Total Recall